Теорема Гуревича

В математике теорема Гуревича является основным результатом алгебраической топологии , соединяющим теорию гомотопий с теорией гомологии посредством отображения, известного как гомоморфизм Гуревича . Теорема названа в честь Витольда Гуревича и обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре .

Формулировка теорем

Теоремы Гуревича являются ключевым связующим звеном между гомотопическими группами и группами гомологий .

Абсолютная версия

Для любого линейно-связного пространства X и натурального числа n существует групповой гомоморфизм

h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),

называется гомоморфизмом Гуревича , от n -й гомотопической группы до n -й группы гомологий (с целыми коэффициентами). Оно задается следующим образом: выбираем канонический генератор $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ , то гомотопический класс отображений $f\in \pi _{n}(X)$ отвезли в $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$ .

Теорема Гуревича устанавливает случаи, в которых гомоморфизм Гуревича является изоморфизмом .

Для $n\geq 2$ , X если $(n-1)$ -связный (то есть: $\pi _{i}(X)=0$ для всех $i<n$ ), затем ${\tilde {H_{i}}}(X)=0$ для всех $i<n$ и карта Гуревича $h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)$ является изоморфизмом. ^[1]^{: 366, Thm.4.32} Это означает, в частности, что гомологическая связность равна гомотопической связности, когда последняя не меньше 1. Кроме того, отображение Гуревича $h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ в данном случае является эпиморфизмом . ^[1]^: 390, ?
Для $n=1$ , гомоморфизм Гуревича индуцирует изоморфизм ${\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)$ , между абелианизацией первой гомотопической группы ( фундаментальной группы ) и первой группы гомологий.

Относительная версия

Для любой пары пространств $(X,A)$ и целое число $k>1$ существует гомоморфизм

h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)

от групп относительных гомотопий к группам относительных гомологий. Относительная теорема Гуревича гласит, что если оба $X$ и $A$ соединены, и пара $(n-1)$ -подключено тогда $H_{k}(X,A)=0$ для $k<n$ и $H_{n}(X,A)$ получается из $\pi _{n}(X,A)$ путем исключения действия $\pi _{1}(A)$ . Это доказывается, например, Уайтхедом (1978) методом индукции, доказывая, в свою очередь, абсолютную версию и лемму о гомотопическом сложении.

Эта относительная теорема Гуревича переформулирована Брауном и Хиггинсом (1981) как утверждение о морфизме

\pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),

где $CA$ обозначает конус $A$ . Это утверждение является частным случаем гомотопической теоремы об вырезании , включающей индуцированные модули для $n>2$ (скрещенные модули, если $n=2$ ), которая сама выводится из теоремы Ван Кампена о высшей гомотопии для относительных гомотопических групп, доказательство которой требует развития техники кубического высшего гомотопического группоида фильтрованного пространства.

Триадная версия

Для любой триады пространств $(X;A,B)$ (т.е. пространство X и подпространства A , B ) и целое число $k>2$ существует гомоморфизм

h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)

от триадных гомотопических групп к триадным гомотопическим группам. Обратите внимание, что

H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).

Триадическая теорема Гуревича утверждает, что если X , A , B и $C=A\cap B$ соединены, пары $(A,C)$ и $(B,C)$ являются $(p-1)$ -связанный и $(q-1)$ -связны соответственно и триада $(X;A,B)$ является $(p+q-2)$ -связано, то $H_{k}(X;A,B)=0$ для $k<p+q-2$ и $H_{p+q-1}(X;A)$ получается из $\pi _{p+q-1}(X;A,B)$ путем исключения действия $\pi _{1}(A\cap B)$ и обобщенные произведения Уайтхеда. Доказательство этой теоремы использует высшую гомотопическую теорему типа Ван Кампена для триадических гомотопических групп, которая требует понятия фундаментальной $\operatorname {cat} ^{n}$ -группа n -куба пространств.

Упрощенная версия набора

Теорему Гуревича для топологических пространств можно сформулировать и для n -связных симплициальных множеств, удовлетворяющих условию Кана. ^[2]

Рациональная теорема Гуревича

Рациональная теорема Гуревича: ^[3]^[4] Пусть X — односвязное топологическое пространство с $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ для $i\leq r$ . Тогда карта Гуревича

h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )

индуцирует изоморфизм для $1\leq i\leq 2r$ и сюръективность для $i=2r+1$ .

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79160-1
^ Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Фредерик (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
^ Клаус, Стефан; Крек, Маттиас (2004), «Быстрое доказательство рациональной теоремы Гуревича и вычисление рациональных гомотопических групп сфер», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 136 (3): 617–623, Bibcode : 2004MPCPS.136 ..617K , doi : 10.1017/s0305004103007114 , S2CID 119824771
^ Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952), «Расслоенные пространства и гомотопические группы, II, Приложения», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 2 (34): 393–395

Ссылки

Браун, Рональд (1989), «Триадические теоремы Ван Кампена и теоремы Гуревича», Алгебраическая топология (Эванстон, Иллинойс, 1988) , Contemporary Mathematics, vol. 96, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 39–57, doi : 10.1090/conm/096/1022673 , ISBN. 9780821851029 , МР 1022673
Браун, Рональд; Хиггинс, П.Дж. (1981), «Теоремы о копределах для относительных гомотопических групп», Журнал чистой и прикладной алгебры , 22 : 11–41, doi : 10.1016/0022-4049(81)90080-3 , ISSN 0022-4049
Браун, Р.; Лоде, Ж.-Л. (1987), «Гомотопическое вырезание и теоремы Гуревича для n-кубов пространств», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 54 : 176–192, CiteSeerX 10.1.1.168.1325 , doi : 10.1112/plms/s3 -54.1.176 , ISSN 0024-6115
Браун, Р.; Лоде, Ж.-Л. (1987), «Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств», Топология , 26 (3): 311–334, doi : 10.1016/0040-9383(87)90004-8 , ISSN 0040-9383

Ротман, Джозеф Дж. (1988), Введение в алгебраическую топологию , Тексты для аспирантов по математике , том. 119, Springer-Verlag (опубликовано 22 июля 1998 г.), ISBN 978-0-387-96678-6
Уайтхед, Джордж В. (1978), Элементы теории гомотопии , Тексты для аспирантов по математике , том. 61, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-90336-1

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79160-1

[2] Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Фредерик (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7

[3] Клаус, Стефан; Крек, Маттиас (2004), «Быстрое доказательство рациональной теоремы Гуревича и вычисление рациональных гомотопических групп сфер», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 136 (3): 617–623, Bibcode : 2004MPCPS.136 ..617K , doi : 10.1017/s0305004103007114 , S2CID 119824771

[4] Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952), «Расслоенные пространства и гомотопические группы, II, Приложения», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 2 (34): 393–395

[1]

[2]

[3]

[4]