Теорема Зейферта – Ван Кампена

В математике теорема Зейферта-Ван Кампена об алгебраической топологии (названная в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена ), иногда называемая просто теоремой Ван Кампена , выражает структуру фундаментальной группы топологического пространства. $X$ в терминах фундаментальных групп двух открытых линейно связных подпространств покрывающих , $X$. Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.

Теорема Ван Кампена

Пусть X — топологическое пространство, которое является объединением двух открытых и линейно связных подпространств U ₁ , U ₂ . Предположим, что U ₁ ∩ U ₂ линейно связен и непуст , и пусть x ₀ — точка из U ₁ ∩ U ₂ , которая будет использоваться в качестве базы всех фундаментальных групп. Отображения включения U ₁ и U ₂ в X индуцируют групповые гомоморфизмы $j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$ и $j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$. Тогда X связен по путям и $j_{1}$ и $j_{2}$ сформировать коммутативную диаграмму выталкивания :

Естественный морфизм k является изоморфизмом . То есть фундаментальная группа X является свободным произведением фундаментальных групп U ₁ и U ₂ с объединением $\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})$.

Обычно морфизмы, индуцированные включением в эту теорему, сами по себе не являются , и более точная версия утверждения выражается в терминах вытеснения групп инъективными .

Теорема Ван Кампена

К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу круга – который является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии – потому что круг не может быть реализован как объединение двух открытых множеств со связанным пересечением . Эту проблему можно решить, работая с фундаментальным группоидом. $\pi _{1}(X,A)$на множестве А базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки.

Этот группоид состоит из гомотопических классов относительно концов путей в X, соединяющих точки A ∩ X . В частности, если X — стягиваемое пространство и A состоит из двух различных точек X , то $\pi _{1}(X,A)$ легко видеть, что он изоморфен группоиду, который часто пишут ${\mathcal {I}}$с двумя вершинами и ровно одним морфизмом между любыми двумя вершинами. Этот группоид играет роль в теории группоидов, аналогичную роли группы целых чисел в теории групп. Группоид ${\mathcal {I}}$ также допускает для группоидов понятие гомотопии: это объект с единичным интервалом в категории группоидов.

Связный союз двух несвязных пространств с набором базовых точек.

Категория группоидов допускает все копределы и, в частности, все выталкивания.

Теорема. Пусть топологическое пространство X покрыто внутренностями двух подпространств X ₁ , X ₂ и пусть A — множество, которое соответствует каждой пути X компоненте ₁ , X ₂ и X ₀ = X ₁ ∩ X ₂ . Тогда A соответствует каждой компоненте пути X и диаграмме P морфизмов, индуцированной включением

представляет собой диаграмму выталкивания в категории группоидов.

Эта теорема дает переход от топологии к алгебре , полностью определяя фундаментальный группоид. $\pi _{1}(X,A)$; затем нужно использовать алгебру и комбинаторику , чтобы определить фундаментальную группу в некоторой базовой точке.

Одна из интерпретаций теоремы состоит в том, что она вычисляет гомотопические 1-типы. Чтобы убедиться в его полезности, можно легко найти случаи, когда X связно, но представляет собой объединение внутренностей двух подпространств, каждое из которых имеет, скажем, 402 компонента пути и чье пересечение имеет, скажем, 1004 компонента пути. Интерпретация этой теоремы как инструмента расчета «фундаментальных групп» требует некоторого развития «комбинаторной теории группоидов». Эта теорема подразумевает вычисление фундаментальной группы круга как группы целых чисел, поскольку группа целых чисел получается из группоида ${\mathcal {I}}$ путем идентификации в категории группоидов двух его вершин.

Существует вариант последней теоремы, когда X накрывается объединением внутренностей семейства. $\{U_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}$ подмножеств.

Вывод состоит в том, что если A соответствует каждому компоненту пути всех 1,2,3-кратных пересечений множеств $U_{\lambda }$, то A соответствует всем компонентам пути X и диаграмме

$\bigsqcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda ^{2}}\pi _{1}(U_{\lambda }\cap U_{\mu },A)\rightrightarrows \bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }\pi _{1}(U_{\lambda },A)\rightarrow \pi _{1}(X,A)$

морфизмов, индуцированных включениями, является коэквалайзером в категории группоидов.

[...] люди все еще упрямо упорствуют при расчетах с фундаментальными группами в фиксации одной базовой точки вместо того, чтобы ловко выбирать целый пакет точек, инвариантный относительно симметрий ситуации, которые, таким образом, теряются на пути. В определенных ситуациях (например, теоремы о спуске фундаментальных групп а-ля Ван Кампен) гораздо более элегантно и даже необходимо для понимания чего-либо работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек [...]

- Александр Гротендик , Программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод )

Эквивалентные

На языке комбинаторной теории групп , если $X$ является топологическим пространством; $U$ и $V$ являются открытыми, связными путями подпространства $X$; $U\cap V$непусто и линейно связно; и $w\in U\cap V$; затем $\pi _{1}(X,w)$ это бесплатный продукт, включающий в себя $\pi _{1}(U,w)$ и $\pi _{1}(V,w)$, относительно (не обязательно инъективных) гомоморфизмов $I:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)$ и $J:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)$. Представлены групповые презентации :

${\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\dots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\dots ,v_{m}\mid \beta _{1},\dots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\dots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\dots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}$

объединение может быть представлено как

$\pi _{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\dots ,u_{k},v_{1},\dots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l},\beta _{1},\dots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\dots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .$

В теории категорий , $\pi _{1}(X,w)$ — это выталкивание в категории групп диаграммы:

$\pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).$

Примеры

2-сфера

Теорему Ван Кампена можно использовать для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу $S^{2}$. Выбирайте открытые наборы $A=S^{2}\setminus \{n\}$ и $B=S^{2}\setminus \{s\}$где n и s обозначают северный и южный полюс соответственно. Тогда мы обладаем тем свойством, что A , B и A ∩ B являются связными множествами с открытыми путями. Таким образом, мы видим, что существует коммутативная диаграмма , включающая A ∩ B в A и B , а затем еще одно включение из A и B в $S^{2}$и что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает результат

$\pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi ).$

Однако A и B гомеоморфны ​ R. ​ ² который односвязен , поэтому и A , и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Отсюда ясно, что основная группа $S^{2}$ тривиально.

Клиновая сумма пробелов

Даны два заостренных пространства $(X,x)$ и $(Y,y)$ мы можем составить их клиновую сумму , $(X\vee Y,p)$ взяв частное , $X\coprod Y$ путем определения их двух базовых точек.

Если $x$ допускает сжимаемую открытую окрестность $U\subset X$ и $y$ допускает сжимаемую открытую окрестность $V\subset Y$ (что имеет место, если, например, $X$ и $Y$ являются комплексами CW ), то мы можем применить теорему Ван Кампена к $X\vee Y$ принимая $X\vee V$ и $U\vee Y$как два открытых множества, и мы приходим к выводу, что фундаментальная группа клина - это свободное произведение фундаментальных групп двух пространств, с которых мы начали:

$\pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x)*\pi _{1}(Y,y)$.

Управляемые рода поверхности

Более сложным примером является вычисление фундаментальной группы рода n ориентируемой поверхности , иначе известной как группа поверхностей рода n . Можно построить S, используя его стандартный фундаментальный многоугольник . Для первого открытого набора A выберите диск в центре многоугольника. Выберите B как дополнение к S центральной точки A . Тогда пересечение A и B представляет собой кольцо , которое, как известно, гомотопически эквивалентно (и, следовательно, имеет ту же фундаментальную группу, что и) окружности. Затем $\pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})$, что является целыми числами, и $\pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}$. Таким образом, включение $\pi _{1}(A\cap B)$ в $\pi _{1}(A)$отправляет любой генератор тривиальному элементу. Однако включение $\pi _{1}(A\cap B)$ в $\pi _{1}(B)$не является тривиальным. Чтобы это понять, сначала надо вычислить $\pi _{1}(B)$. Это легко сделать, поскольку можно деформацией отвести B (то есть S с удаленной одной точкой) на ребра, помеченные

$A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.$

Известно, что это пространство представляет собой клиновую сумму 2 n кругов (также называемую букетом кругов ), которая, как известно, имеет фундаментальную группу, изоморфную свободной группе с 2 n образующими, которые в этом случае могут быть представлены ребрами сами себя: $\{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}$. Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы применить теорему Ван Кампена. Генераторы — это петли $\{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}$ ( A просто связен, поэтому не дает образующих), и существует ровно одно соотношение:

$A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.$

Используя образующие и отношения, эту группу обозначим

$\left\langle A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .$

Простосвязность

Если X — это пространство, которое можно записать как объединение двух открытых односвязных множеств U и V , причем U ∩ V непусто и линейно связно , то X односвязно.

Обобщения

Как объяснялось выше, эта теорема была распространена Рональдом Брауном на несвязный случай с использованием фундаментального группоида $\pi _{1}(X,A)$на множестве A базовых точек. Теорема для произвольных покрытий с ограничением, что A пересекает все тройные пересечения множеств покрытия, приведена в статье Брауна и Абдула Разака Саллеха. Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых группоидных методов, также приведены в Дж. Питера Мэя . книге Версия, которая допускает более двух перекрывающихся множеств, но с A одноэлементным , также приведена в Аллена Хэтчера книге ниже, теорема 1.20.

Приложения фундаментального группоида на множестве базовых точек к теореме Жордана о кривой , накрывающим пространствам и пространствам орбит даны в книге Рональда Брауна. В случае пространств орбит удобно взять A , чтобы оно включало все неподвижные точки действия. Примером здесь является действие сопряжения на окружности.

Ссылки на многомерные версии теоремы, которые дают некоторую информацию о гомотопических типах, приведены в статье о многомерных теориях групп и группоидах. Таким образом, двумерная теорема Ван Кампена, которая вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была предложена Рональдом Брауном и Филипом Дж. Хиггинсом. Полное описание и расширение всех измерений дано Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой. а расширение пространств на n -кубы дано Рональдом Брауном и Жаном-Луи Лоде .

Фундаментальные группы также появляются в алгебраической геометрии и являются основной темой семинара Александра Гротендика первого по алгебраической геометрии (SGA1). Там появляется версия теоремы Ван Кампена, которая доказывается совершенно иначе, чем в алгебраической топологии, а именно с помощью теории спуска. Аналогичное доказательство работает в алгебраической топологии.

См. также

• Многомерная алгебра
• Теория высших категорий
• Псевдокруг
• Рональд Браун (математик)

Ссылки

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Издательство Кембриджского университета, Кембридж, xii+544 стр. ISBN   0-521-79160-X и ISBN   0-521-79540-0
• Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. (1999) Издательство Чикагского университета, ISBN   0-226-51183-9 (в разделе 2.7 представлено теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов) .
• Рональд Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Соц . (3) 17 (1967) 385–401.
• Обсуждение Mathoverflow по многим базовым точкам
• Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN   1-4196-2722-8
• Р. Браун и А. Разак, Теорема Ван Кампена для объединений несвязных пространств, Архив. Математика. 42 (1984) 85–88. (В этой статье дается, вероятно, оптимальная версия теоремы, а именно группоидная версия теоремы для произвольного открытого покрытия и набора базовых точек, который пересекает каждую компоненту пути каждого 1-,2-3-кратного пересечения множеств крышка.)
• П. Дж. Хиггинс, Категории и группоиды (1971) Ван Ностранд Рейнхольд
• Рональд Браун, Теория групп более высокой размерности (2007) (Дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие множественные группоиды) .
• Гринберг, Марвин Дж.; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология. Первый курс , Серия лекций по математике, том. 58, Бенджамин/Каммингс, ISBN  0805335579
• Зейферт Х. , Построение трехмерных замкнутых пространств . Сообщает Сакс. Лейпциг. Матем.-Физ. Кл. (83) (1931) 26–66.
• ЭР ван Кампен. О связи фундаментальных групп некоторых родственных пространств. Американский журнал математики, том. 55 (1933), стр. 261–267.
• Браун, Р., Хиггинс, П.Дж., О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств , Proc. Лондонская математика. Соц. (3) 36 (1978) 193–212.
• Браун, Р., Хиггинс, П.Дж. и Сивера, Р.. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды ; (В первой из трех частей обсуждаются приложения 1- и 2-мерных версий теоремы Зейферта – Ван Кампена. Последняя позволяет вычислять неабелевы вторые относительные гомотопические группы и, по сути, гомотопические 2-типы. Вторая часть относится к высшая гомотопическая теорема Ван Кампена для скрещенных комплексов, доказанная в части III.)
• «Результат теоремы Ван Кампена» . ПланетаМатематика .
• Р. Браун, Х. Кампс, Т. Портер: Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства II: теорема Ван Кампена», Теория и приложения категорий, 14 (2005) 200–220.
• Дилан Г. Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема Ван Кампена (обсуждаются обобщенные версии теоремы Ван Кампена, примененные к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
• Р. Браун и Ж.-Л. Лодей, «Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств», Topology 26 (1987) 311–334.

Эта статья включает в себя материал из теоремы Ван Кампена о PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с теоремой Зейферта – Ван Кампена, на Викискладе?