Теорема Зейферта – Ван Кампена
В математике теорема Зейферта-Ван Кампена об алгебраической топологии (названная в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена ), иногда называемая просто теоремой Ван Кампена , выражает структуру фундаментальной группы топологического пространства. в терминах фундаментальных групп двух открытых линейно связных подпространств покрывающих , . Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.
Теорема Ван Кампена групп для фундаментальных
Пусть X — топологическое пространство, которое является объединением двух открытых и линейно связных подпространств U 1 , U 2 . Предположим, что U 1 ∩ U 2 линейно связен и непуст , и пусть x 0 — точка из U 1 ∩ U 2 , которая будет использоваться в качестве базы всех фундаментальных групп. Отображения включения U 1 и U 2 в X индуцируют групповые гомоморфизмы и . Тогда X связен по путям и и сформировать коммутативную диаграмму выталкивания :
Естественный морфизм k является изоморфизмом . То есть фундаментальная группа X является свободным произведением фундаментальных групп U 1 и U 2 с объединением . [1]
Обычно морфизмы, индуцированные включением в эту теорему, сами по себе не являются , и более точная версия утверждения выражается в терминах вытеснения групп инъективными .
Теорема Ван Кампена группоидов для фундаментальных
К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу круга – который является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии – потому что круг не может быть реализован как объединение двух открытых множеств со связанным пересечением . Эту проблему можно решить, работая с фундаментальным группоидом. на множестве А базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки. [2]
Этот группоид состоит из гомотопических классов относительно концов путей в X, соединяющих точки A ∩ X . В частности, если X — стягиваемое пространство и A состоит из двух различных точек X , то легко видеть, что он изоморфен группоиду, который часто пишут с двумя вершинами и ровно одним морфизмом между любыми двумя вершинами. Этот группоид играет роль в теории группоидов, аналогичную роли группы целых чисел в теории групп. [3] Группоид также допускает для группоидов понятие гомотопии: это объект с единичным интервалом в категории группоидов.
Категория группоидов допускает все копределы и, в частности, все выталкивания.
- Теорема. Пусть топологическое пространство X покрыто внутренностями двух подпространств X 1 , X 2 и пусть A — множество, которое соответствует каждой пути X компоненте 1 , X 2 и X 0 = X 1 ∩ X 2 . Тогда A соответствует каждой компоненте пути X и диаграмме P морфизмов, индуцированной включением
- представляет собой диаграмму выталкивания в категории группоидов. [4]
Эта теорема дает переход от топологии к алгебре , полностью определяя фундаментальный группоид. ; затем нужно использовать алгебру и комбинаторику , чтобы определить фундаментальную группу в некоторой базовой точке.
Одна из интерпретаций теоремы состоит в том, что она вычисляет гомотопические 1-типы. Чтобы убедиться в его полезности, можно легко найти случаи, когда X связно, но представляет собой объединение внутренностей двух подпространств, каждое из которых имеет, скажем, 402 компонента пути и чье пересечение имеет, скажем, 1004 компонента пути. Интерпретация этой теоремы как инструмента расчета «фундаментальных групп» требует некоторого развития «комбинаторной теории группоидов». [5] [6] Эта теорема подразумевает вычисление фундаментальной группы круга как группы целых чисел, поскольку группа целых чисел получается из группоида путем идентификации в категории группоидов двух его вершин.
Существует вариант последней теоремы, когда X накрывается объединением внутренностей семейства. подмножеств. [7] [8]
Вывод состоит в том, что если A соответствует каждому компоненту пути всех 1,2,3-кратных пересечений множеств , то A соответствует всем компонентам пути X и диаграмме
морфизмов, индуцированных включениями, является коэквалайзером в категории группоидов.
[...] люди все еще упрямо упорствуют при расчетах с фундаментальными группами в фиксации одной базовой точки вместо того, чтобы ловко выбирать целый пакет точек, инвариантный относительно симметрий ситуации, которые, таким образом, теряются на пути. В определенных ситуациях (например, теоремы о спуске фундаментальных групп а-ля Ван Кампен) гораздо более элегантно и даже необходимо для понимания чего-либо работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек [...]
Эквивалентные составы
На языке комбинаторной теории групп , если является топологическим пространством; и являются открытыми, связными путями подпространства ; непусто и линейно связно; и ; затем это бесплатный продукт, включающий в себя и , относительно (не обязательно инъективных) гомоморфизмов и . Представлены групповые презентации :
объединение может быть представлено [9] как
В теории категорий , — это выталкивание в категории групп диаграммы:
Примеры [ править ]
2-сфера [ править ]
Теорему Ван Кампена можно использовать для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу . Выбирайте открытые наборы и где n и s обозначают северный и южный полюс соответственно. Тогда мы обладаем тем свойством, что A , B и A ∩ B являются связными множествами с открытыми путями. Таким образом, мы видим, что существует коммутативная диаграмма , включающая A ∩ B в A и B , а затем еще одно включение из A и B в и что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает результат
Однако A и B гомеоморфны R. 2 который односвязен , поэтому и A , и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Отсюда ясно, что основная группа тривиально.
Клиновая сумма пробелов [ править ]
Даны два заостренных пространства и мы можем составить их клиновую сумму , взяв частное , путем определения их двух базовых точек.
Если допускает сжимаемую открытую окрестность и допускает сжимаемую открытую окрестность (что имеет место, если, например, и являются комплексами CW ), то мы можем применить теорему Ван Кампена к принимая и как два открытых множества, и мы приходим к выводу, что фундаментальная группа клина - это свободное произведение фундаментальных групп двух пространств, с которых мы начали:
- .
Управляемые рода поверхности [ править ]
Более сложным примером является вычисление фундаментальной группы рода n ориентируемой поверхности , иначе известной как группа поверхностей рода n . Можно построить S, используя его стандартный фундаментальный многоугольник . Для первого открытого набора A выберите диск в центре многоугольника. Выберите B как дополнение к S центральной точки A . Тогда пересечение A и B представляет собой кольцо , которое, как известно, гомотопически эквивалентно (и, следовательно, имеет ту же фундаментальную группу, что и) окружности. Затем , что является целыми числами, и . Таким образом, включение в отправляет любой генератор тривиальному элементу. Однако включение в не является тривиальным. Чтобы это понять, сначала надо вычислить . Это легко сделать, поскольку можно деформацией отвести B (то есть S с удаленной одной точкой) на ребра, помеченные
Известно, что это пространство представляет собой клиновую сумму 2 n кругов (также называемую букетом кругов ), которая, как известно, имеет фундаментальную группу, изоморфную свободной группе с 2 n образующими, которые в этом случае могут быть представлены ребрами сами себя: . Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы применить теорему Ван Кампена. Генераторы — это петли ( A просто связен, поэтому не дает образующих), и существует ровно одно соотношение:
Используя образующие и отношения, эту группу обозначим
Простосвязность [ править ]
Если X — это пространство, которое можно записать как объединение двух открытых односвязных множеств U и V , причем U ∩ V непусто и линейно связно , то X односвязно. [10]
Обобщения [ править ]
Как объяснялось выше, эта теорема была распространена Рональдом Брауном на несвязный случай с использованием фундаментального группоида на множестве A базовых точек. Теорема для произвольных покрытий с ограничением, что A пересекает все тройные пересечения множеств покрытия, приведена в статье Брауна и Абдула Разака Саллеха. [11] Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых группоидных методов, также приведены в Дж. Питера Мэя . книге [12] Версия, которая допускает более двух перекрывающихся множеств, но с A одноэлементным , также приведена в Аллена Хэтчера книге ниже, теорема 1.20.
Приложения фундаментального группоида на множестве базовых точек к теореме Жордана о кривой , накрывающим пространствам и пространствам орбит даны в книге Рональда Брауна. [13] В случае пространств орбит удобно взять A , чтобы оно включало все неподвижные точки действия. Примером здесь является действие сопряжения на окружности.
Ссылки на многомерные версии теоремы, которые дают некоторую информацию о гомотопических типах, приведены в статье о многомерных теориях групп и группоидах. [14] Таким образом, двумерная теорема Ван Кампена, которая вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была предложена Рональдом Брауном и Филипом Дж. Хиггинсом. [15] Полное описание и расширение всех измерений дано Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой. [16] а расширение пространств на n -кубы дано Рональдом Брауном и Жаном-Луи Лоде . [17]
Фундаментальные группы также появляются в алгебраической геометрии и являются основной темой семинара Александра Гротендика первого по алгебраической геометрии (SGA1). Там появляется версия теоремы Ван Кампена, которая доказывается совершенно иначе, чем в алгебраической топологии, а именно с помощью теории спуска. Аналогичное доказательство работает в алгебраической топологии. [18]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7939-1 . OCLC 697506452 . стр. 252, Теорема 10.1.
- ^ Р. Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Соц . (3) 17 (1967) 385–401.
- ^ Рональд Браун. «Группоиды в математике». http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
- ^ Р. Браун. Топология и группоиды. , Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
- ^ П. Дж. Хиггинс, Категории и группоиды , Ван Ностранд, 1971, Перепечатки теории и приложений категорий, № 7 (2005), стр. 1–195.
- ^ Р. Браун, Топология и группоиды. , Booksurge PLC (2006).
- ^ Рональд Браун, Филип Дж. Хиггинс и Рафаэль Сивера. Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , Трактаты Европейского математического общества, том 15, август 2011 г.
- ^ «Многомерные обобщенные теоремы Ван Кампена (HD-GVKT)» .
- ^ Ли 2011 , с. 253, Теорема 10.3.
- ^ Гринберг и Харпер 1981
- ^ Браун, Рональд; Саллех, Абдул Разак (1984). «Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств». Архив математики . 42 (1). Базель: 85–88. дои : 10.1007/BF01198133 .
- ^ Мэй, Дж. Питер (1999). Краткое введение в алгебраическую топологию . Глава 2.
- ^ Браун, Рональд, «Топология и группоиды», Booksurge, (2006)
- ^ Рональд Браун. «Теория групп многомерности». 2007. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm .
- ^ Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж. (1978). «О связи вторых относительных гомотопических групп некоторых родственных пространств». Труды Лондонского математического общества . 3. 36 : 193–212. дои : 10.1112/plms/s3-36.2.193 .
- ^ Браун, Рональд, Хиггинс, Филип Дж. и Сивера, Рафаэль, «Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды», EMS Tracts in Mathematics, том 15, 2001. http://groupoids.org.uk /nonab-at.html
- ^ Браун, Рональд; Лоде, Жан-Луи (1987). «Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств». Топология . 26 : 311–334. дои : 10.1016/0040-9383(87)90004-8 .
- ^ Дуади, Адриен и Дуади, Режин, «Теории алгебры и Галуа», Кассини (2005)
Ссылки [ править ]
- Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Издательство Кембриджского университета, Кембридж, xii+544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
- Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. (1999) Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-51183-9 (в разделе 2.7 представлено теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов) .
- Рональд Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Соц . (3) 17 (1967) 385–401.
- Обсуждение Mathoverflow по многим базовым точкам
- Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8
- Р. Браун и А. Разак, Теорема Ван Кампена для объединений несвязных пространств, Архив. Математика. 42 (1984) 85–88. (В этой статье дается, вероятно, оптимальная версия теоремы, а именно группоидная версия теоремы для произвольного открытого покрытия и набора базовых точек, который пересекает каждую компоненту пути каждого 1-,2-3-кратного пересечения множеств крышка.)
- П. Дж. Хиггинс, Категории и группоиды (1971) Ван Ностранд Рейнхольд
- Рональд Браун, Теория групп более высокой размерности (2007) (Дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие множественные группоиды) .
- Гринберг, Марвин Дж.; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология. Первый курс , Серия лекций по математике, том. 58, Бенджамин/Каммингс, ISBN 0805335579
- Зейферт Х. , Построение трехмерных замкнутых пространств . Сообщает Сакс. Лейпциг. Матем.-Физ. Кл. (83) (1931) 26–66.
- ЭР ван Кампен. О связи фундаментальных групп некоторых родственных пространств. Американский журнал математики, том. 55 (1933), стр. 261–267.
- Браун, Р., Хиггинс, П.Дж., О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств , Proc. Лондонская математика. Соц. (3) 36 (1978) 193–212.
- Браун, Р., Хиггинс, П.Дж. и Сивера, Р.. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды ; (В первой из трех частей обсуждаются приложения 1- и 2-мерных версий теоремы Зейферта – Ван Кампена. Последняя позволяет вычислять неабелевы вторые относительные гомотопические группы и, по сути, гомотопические 2-типы. Вторая часть относится к высшая гомотопическая теорема Ван Кампена для скрещенных комплексов, доказанная в части III.)
- «Результат теоремы Ван Кампена» . ПланетаМатематика .
- Р. Браун, Х. Кампс, Т. Портер: Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства II: теорема Ван Кампена», Теория и приложения категорий, 14 (2005) 200–220.
- Дилан Г. Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема Ван Кампена (обсуждаются обобщенные версии теоремы Ван Кампена, примененные к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
- Р. Браун и Ж.-Л. Лодей, «Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств», Topology 26 (1987) 311–334.
Эта статья включает в себя материал из теоремы Ван Кампена о PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
Внешние ссылки [ править ]
СМИ, связанные с теоремой Зейферта – Ван Кампена, на Викискладе?