Pushout (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , выталкивание (также называемое расслоенным копроизведением или расслоенной суммой , или кокартезовым квадратом , или объединенной суммой ) — это копредел диаграммы, состоящей из двух морфизмов f : Z → X и g : Z → Y с общий домен . Выталкивание состоит из объекта P вместе с двумя морфизмами X → P и Y → P , которые дополняют коммутативный квадрат с двумя заданными морфизмами f и g . Фактически, определяющее универсальное свойство выталкивания (приведенное ниже) по существу говорит о том, что выталкивание является «наиболее общим» способом завершения этого коммутативного квадрата. Общие обозначения для выталкивания: $P=X\sqcup _{Z}Y$ и $P=X+_{Z}Y$ .

Отталкивание является двойником отката . категорическим

Универсальная собственность

Явно выталкивание морфизмов f и g состоит из объекта P и двух морфизмов i ₁ : X → P и i ₂ : Y → P таких, что диаграмма

коммутирует и такой, что ( P , i ₁ , i ₂ ) универсален относительно этой диаграммы. То есть для любой другой такой тройки ( Q , j ₁ , j ₂ ), для которой коммутирует следующая диаграмма, должно существовать уникальное u : P → Q, также делающее диаграмму коммутирующей:

Как и все универсальные конструкции, выталкивание, если оно существует, уникально с точностью до единственного изоморфизма .

Примеры отжиманий

Вот несколько примеров пушаутов в знакомых категориях . Обратите внимание, что в каждом случае мы предоставляем только конструкцию объекта в классе изоморфизма выталкиваний; как упоминалось выше, хотя могут быть и другие способы его создания, все они эквивалентны.

Предположим, что X , Y и Z , как указано выше, являются множествами и что f : Z → X и g : Z → Y являются функциями множества. Выталкивание f и g представляет собой непересекающееся объединение X и Y , где элементы, имеющие общий прообраз (в Z ), идентифицируются вместе с морфизмами i ₁ , i ₂ из X и Y , т.е. $P=(X\sqcup Y)/\!\sim$ $P=(X\sqcup Y)/\!\sim$ где ~ — тончайшее отношение эквивалентности (см. также это ), такое, что ( z ) ~ g ( z ) для всех z в Z. f В частности, если X и Y — подмножества некоторого большего множества W , а Z — их пересечение , причем f и g — карты включения Z в X и Y , то выталкивание можно канонически отождествить с объединением $X\cup Y\subseteq W$ $X\чашка Y\subseteq W$ .
- Частным случаем является кограф функции. Если $f\colon X\to Y$ является функцией, то кограф функции представляет собой выталкивание $f$ вдоль тождественной функции $X$ . Проще говоря, кограф — это частное $X\sqcup Y$ отношением эквивалентности, порожденным отождествлением $x\in X\subseteq X\sqcup Y$ с $f(x)\in Y\subseteq X\sqcup Y$ . Функция может быть восстановлена по ее кографу, поскольку каждый класс эквивалентности в $X\sqcup Y$ содержит ровно один элемент $Y$ . Кографы двойственны графикам функций, поскольку график можно определить как обратный образ $f$ вдоль единицы $Y$ . ^[1]^[2]
Построение пространств присоединения является примером выталкивания в категории топологических пространств . Точнее, если Z — подпространство Y g и можем : Z → Y — карта включения, «приклеить» Y к другому пространству X вдоль Z, используя «прикрепляющую карту» f : Z → X. мы Результатом является пространство присоединения $X\cup _{f}Y$ , что является просто вытеснением f и g . В более общем плане все идентификационные пространства таким образом можно рассматривать как выталкивания.
Особым случаем вышеизложенного является клиновая сумма или одноточечное объединение; здесь мы считаем X и Y точечными пространствами , а Z — одноточечным пространством. Тогда выталкивание $X\vee Y$ , пространство, полученное путем склеивания базовой точки X с базовой точкой Y .
В категории абелевых групп выталкивания можно рассматривать как « прямую сумму со склейкой» точно так же, как мы думаем о пространствах присоединения как « несвязное объединение со склейкой». Нулевая группа является подгруппой каждой группы , поэтому для любых абелевых групп A и B мы имеем гомоморфизмы. $f:0\to A$ и $g:0\to B$ . Выталкивание этих карт представляет собой прямую сумму A и B . Обобщая случай, когда f и g — произвольные гомоморфизмы из общей области Z , для выталкивания получаем фактор-группу прямой суммы; а именно, мы модифицируем подгруппу, состоящую из пар ( f ( z ), − g ( z )). Таким образом, мы «склеили» образы Z под f и g . Подобный подход дает вытеснение в категории R -модулей для любого кольца R .
В категории групп выталкиванием называется свободный продукт с объединением . Это проявляется в теореме Зейферта – Ван Кампена об алгебраической топологии (см. ниже).
В CRing , категории коммутативных колец ( полная подкатегория категории колец ), выталкивание задаётся тензорным произведением колец $A\otimes _{C}B$ с морфизмами $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ и $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ которые удовлетворяют $f'\circ g=g'\circ f$ . Фактически, поскольку выталкивание является копределом промежутка , а возврат — пределом коспана , мы можем думать о тензорном произведении колец и расслоенном произведении колец (см. раздел примеров) как о двойственных друг другу понятиях. В частности, пусть A , B и C — объекты (коммутативные кольца с единицей) в CRing и пусть f : C → A и g : C → B — морфизмы ( гомоморфизмы колец ) в CRing . Тогда тензорное произведение будет:

A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }

См. «Свободное произведение ассоциативных алгебр» для случая некоммутативных колец.
В мультипликативном моноиде натуральных чисел $\mathbf {Z} _{+}$ , рассматриваемая как категория с одним объектом, выталкивание двух натуральных чисел m и n представляет собой просто пару $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$ числители являются наименьшим общим кратным m , где и n . Обратите внимание, что та же пара также является откатом.

Характеристики

Если существует выталкивание A ⊔ _C B , то и существует _{естественный} B ⊔ CA изоморфизм A ⊔ _C B ≅ B ⊔ _CA. существует и
В абелевой категории существуют все выталкивания, и они сохраняют коядра в следующем смысле: если ( P , i ₁ , i ₂ ) является выталкиванием f : Z → X и g : Z → Y , то естественное отображение coker( f ) → coker( i ₂ ) является изоморфизмом, как и естественное отображение coker( g ) → coker( i ₁ ).
Существует естественный изоморфизм ( A ⊔ _C B ) ⊔ _B D ≅ A ⊔ _C D . Явно это означает:
- отображения f : C → A , g : C → B и h : B → D и если заданы
- выталкивание f и g определяется i : A → P и j : B → P , и
- выталкивание j и h определяется как k : P → Q и l : D → Q ,
- выталкивание f и hg определяется формулами ki : A → Q и l : D → Q. тогда

Графически это означает, что два выталкивающих квадрата, расположенные рядом и разделяющие один морфизм, образуют больший выталкивающий квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.

Построение через копродукции и соэквалайзеры

Pushouts эквивалентны копроизведениям и соэквалайзерам (при наличии начального объекта ) в том смысле, что:

Копродукты — это выталкивание из исходного объекта, а соэквалайзер f , g : X → Y — это выталкивание [ f , g ] и [1 _X , 1 _X ], поэтому, если есть выталкивания (и исходный объект), затем есть соэквалайзеры и копроизведения;
Выталкивания могут быть построены из копродукций и копроизведений, как описано ниже (выталкивание — это соэквалайзер отображений в копроизведение).

Все приведенные выше примеры можно рассматривать как частные случаи следующей очень общей конструкции, которая работает в любой категории C, удовлетворяющей:

Для любых объектов A и B из C их совместное произведение существует в C ;
Для любых морфизмов j и k из C с той же областью определения и той же целью соэквалайзер j и k существует в C .

В этой установке мы получаем вытеснение морфизмов f : Z → X и g : Z → Y , сначала формируя копродукцию целей X и Y . Тогда у нас есть два морфизма из Z в это копроизведение. Мы можем либо перейти от Z к X через f , а затем включить в копроизведение, либо мы можем перейти от Z к Y через g , а затем включить в копроизведение. Выталкивание f и g является соэквалайзером этих новых карт.

Приложение: теорема Зейферта – Ван Кампена.

Теорема Зейферта – Ван Кампена отвечает на следующий вопрос. Предположим, у нас есть линейно-связное пространство X , покрытое линейно-связными открытыми подпространствами A и B, пересечение которых D также линейно-связно. (Предположим также, что базовая точка * лежит на пересечении A и B. ) Если мы знаем группы A фундаментальные , B и их пересечение D , можем ли мы восстановить фундаментальную группу X ? Ответ — да, при условии, что мы также знаем индуцированные гомоморфизмы $\pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)$ и $\pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).$ Тогда теорема говорит, что фундаментальная группа X является результатом этих двух индуцированных отображений. Конечно, X это выталкивание двух карт включения D в A и B. — Таким образом, мы можем интерпретировать теорему как подтверждение того, что функтор фундаментальной группы сохраняет выбросы включений. Мы могли бы ожидать, что это будет проще всего, когда , поскольку D односвязен тогда оба гомоморфизма выше имеют тривиальную область определения. Действительно, это так, поскольку тогда выталкивание (групп) сводится к свободному продукту , который является копродукцией в категории групп. В самом общем случае мы будем говорить о свободном продукте с объединением .

Подробное изложение этого в несколько более общей обстановке ( охватывающее группоиды ) есть в книге Дж. П. Мэя, указанной в ссылках.

Ссылки

Мэй, Дж. П. Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета, 1999.
Введение в категориальные подходы к алгебраической топологии: основное внимание уделяется алгебре и предполагается топологическая основа.

Рональд Браун «Топология и группоиды» доступен в формате pdf. Дает отчет о некоторых категориальных методах топологии. Используйте фундаментальный группоид на наборе базовых точек, чтобы дать обобщение теоремы Зейферта-ван Кампена.

Филип Дж. Хиггинс, «Категории и группоиды» скачать бесплатно Объясняет некоторые варианты использования группоидов в теории групп и топологии.

Ссылки

^ Риль, Теория категорий в контексте , с. xii
^ https://math.stackexchange.com/questions/1350657/does-the-concept-of-cograph-of-a-function-have-natural-generalisations-exten

Внешние ссылки

выталкивание в nLab

[1] Риль, Теория категорий в контексте , с. xii

[2] ttps://math.stackexchange.com/questions/1350657/does-the-concept-of-cograph-of-a-function-have-natural-generalisations-exten

[1]

[2]