Коммутативное кольцо

В математике — коммутативное кольцо это кольцо , в котором операция умножения коммутативна . Изучение коммутативных колец называется коммутативной алгеброй . Кроме того, некоммутативная алгебра - это изучение свойств колец, не специфичных для коммутативных колец. Это различие является результатом большого числа фундаментальных свойств коммутативных колец, которые не распространяются на некоммутативные кольца.

Определение и первые примеры

Определение

Дополнительная информация об определении колец: Кольцо (математика).

Кольцо – это комплект $R$ снабжен двумя бинарными операциями , т.е. операциями объединения любых двух элементов кольца в третий. Они называются сложением и умножением и обычно обозначаются « $+$" и " $\cdot$"; например $a+b$ и $a\cdot b$. Чтобы образовать кольцо, эти две операции должны удовлетворять ряду свойств: кольцо должно быть абелевой группой при сложении, а также моноидом при умножении, где умножение распределяется по сложению; то есть, $a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$. Обозначаются единичные элементы для сложения и умножения $0$ и $1$, соответственно.

Если умножение коммутативно, т.е.

$$a\cdot b=b\cdot a,$$

затем кольцо $R$ называется коммутативным . В оставшейся части статьи все кольца будут коммутативными, если явно не указано иное.

Первые примеры

Важным примером и в некотором смысле решающим является кольцо целых чисел. $\mathbb {Z}$ с двумя операциями сложения и умножения. Поскольку умножение целых чисел является коммутативной операцией, это кольцо является коммутативным. Обычно его обозначают $\mathbb {Z}$ как сокращение немецкого слова Zahlen (цифры).

Поле котором – это коммутативное кольцо, в $0\not =1$ и каждый ненулевой элемент $a$ является обратимым; т. е. имеет мультипликативную обратную $b$ такой, что $a\cdot b=1$. Следовательно, по определению любое поле является коммутативным кольцом. Рациональные действительные , . и комплексные числа образуют поля

Если $R$ — заданное коммутативное кольцо, то множество всех многочленов от переменной $X$ чьи коэффициенты находятся в $R$ образует кольцо полиномов , обозначаемое $R\left[X\right]$. То же самое справедливо и для нескольких переменных.

Если $V$ — это некоторое топологическое пространство , например, подмножество некоторого $\mathbb {R} ^{n}$, действительные или комплексные непрерывные функции на $V$ образуют коммутативное кольцо. То же самое верно для дифференцируемых или голоморфных функций , когда определены эти два понятия, например, для $V$ сложное многообразие .

Делимость

В отличие от полей, где каждый ненулевой элемент мультипликативно обратим, понятие делимости колец богаче. Элемент $a$ кольца $R$ называется единицей , если она обладает мультипликативным обратным. Другой конкретный тип элемента — это делители нуля , т.е. элемент $a$ такой, что существует ненулевой элемент $b$ кольца такое, что $ab=0$. Если $R$ не имеет ненулевых делителей нуля, ее называют областью целостности (или доменом). Элемент $a$ удовлетворяющий $a^{n}=0$ для некоторого положительного целого числа $n$ называется нильпотентным .

Локализации

Основная статья: Локализация кольца

Локализация кольца — это процесс, в котором некоторые элементы становятся обратимыми, т. е . к кольцу добавляются мультипликативные инверсии. Конкретно, если $S$ является мультипликативно замкнутым подмножеством $R$ (т.е. всякий раз, когда $s,t\in S$ тогда так и есть $st$) локализация то $R$ в $S$, или кольцо дробей со знаменателями в $S$, обычно обозначается $S^{-1}R$ состоит из символов

${\frac {r}{s}}$ с $r\in R,s\in S$

подчиняется определенным правилам, имитирующим сокращение, известное из рациональных чисел. Действительно, на этом языке $\mathbb {Q}$ это локализация $\mathbb {Z}$ во всех ненулевых целых числах. Эта конструкция работает для любой целой области. $R$ вместо $\mathbb {Z}$. Локализация $\left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R$ поле, называемое частных полем $R$.

Идеалы и модули

Далее R обозначает коммутативное кольцо.

Многие из следующих понятий также существуют для не обязательно коммутативных колец, но определения и свойства обычно более сложны. Например, все идеалы в коммутативном кольце автоматически двусторонние , что значительно упрощает ситуацию.

Модули

Основная статья: Модуль

Для кольца $R$, $R$- модуль $M$ это то же самое, что векторное пространство для поля. То есть элементы в модуле можно добавлять; их можно умножить на элементы $R$ подчиняется тем же аксиомам, что и для векторного пространства.

Изучение модулей существенно более трудоемко, чем изучение векторных пространств , так как существуют модули, не имеющие базиса , т. е. не содержащие связующего множества , элементы которого линейно независимы . Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем , а подмодуль свободного модуля не обязательно должен быть свободным.

Модуль конечного типа — это модуль, имеющий конечное связующее множество. Модули конечного типа играют фундаментальную роль в теории коммутативных колец, аналогичную роли конечномерных векторных пространств в линейной алгебре . В частности, нётеровы кольца (см. также § Нётеровы кольца ниже) можно определить как кольца такие, что каждый подмодуль модуля конечного типа также имеет конечный тип.

Идеалы

Основные статьи: Идеал и Факторное кольцо

Идеалы ринга $R$ являются подмодулями ​ $R$, т. е. модули, содержащиеся в $R$. Если говорить подробнее, идеал $I$ является непустым подмножеством $R$ такой, что для всех $r$ в $R$, $i$ и $j$ в $I$, оба $ri$ и $i+j$ находятся в $I$. Для различных приложений понимание идеалов кольца имеет особое значение, но часто приходится изучать модули в целом.

Любое кольцо имеет два идеала, а именно нулевой идеал. $\left\{0\right\}$ и $R$, все кольцо. Эти два идеала являются единственными именно тогда, когда $R$ это поле. Учитывая любое подмножество $F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}$ из $R$ (где $J$ — некоторый набор индексов), идеал , порожденный $F$ есть наименьший идеал, содержащий $F$. Эквивалентно, он задается конечными линейными комбинациями

$$r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.$$

домены

Если $F$ состоит из одного элемента $r$, идеал, порожденный $F$ состоит из кратных $r$, т. е. элементы формы $rs$ для произвольных элементов $s$. Такой идеал называется главным идеалом . Если каждый идеал является главным идеалом, $R$ называется кольцом главных идеалов ; два важных случая $\mathbb {Z}$ и $k\left[X\right]$, кольцо многочленов над полем $k$. Эти две области являются, кроме того, областями, поэтому их называют областями главных идеалов .

В отличие от колец общего вида, в области главных идеалов свойства отдельных элементов сильно связаны со свойствами кольца в целом. Например, любая область главного идеала $R$ - это уникальная область факторизации (UFD), что означает, что любой элемент является продуктом неприводимых элементов уникальным (с точностью до переупорядочения факторов) способом. Здесь элемент $a$ в области называется неприводимой, если единственный способ выразить ее в виде произведения

$$a=bc,$$

либо $b$ или $c$ будучи единицей. Примером, важным в теории поля , являются неприводимые многочлены , т. е. неприводимые элементы в $k\left[X\right]$, для поля $k$. Тот факт, что $\mathbb {Z}$ является UFD, можно сформулировать более элементарно, сказав, что любое натуральное число можно однозначно разложить как произведение степеней простых чисел. Она также известна как фундаментальная теорема арифметики .

Элемент $a$ является простым элементом, если всякий раз, когда $a$ делит продукт $bc$, $a$ делит $b$ или $c$. В области быть простым означает быть неприводимым. Обратное верно в уникальной области факторизации, но неверно в целом.

Факторное кольцо

Определение идеалов таково, что «разделение» $I$ «out» дает еще одно кольцо, факторное кольцо $R/I$: это набор смежных классов $I$ вместе с операциями

$$\left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I$$

и $\left(a+I\right)\left(b+I\right)=ab+I$.Например, кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (также обозначается $\mathbb {Z} _{n}$), где $n$ целое число, кольцо целых чисел по модулю $n$. Это основа модульной арифметики .

Идеал является правильным, если он строго меньше всего кольца. Идеал, не содержащийся строго ни в одном собственном идеале, называется максимальным . Идеал $m$ является максимальным тогда и только тогда, когда $R/m$ это поле. За исключением нулевого кольца , любое кольцо (с единицей) обладает хотя бы одним максимальным идеалом; это следует из леммы Цорна .

Нётеровы кольца

Основная статья: Нётерово кольцо

Кольцо называется нётеровым (в честь Эмми Нётер , разработавшей это понятие), если каждая восходящая цепочка идеалов

$$0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots$$

становится стационарным, т. е. становится постоянным за пределами некоторого индекса $n$. Эквивалентно, любой идеал порождается конечным числом элементов, или, что эквивалентно, подмодули конечно порожденных модулей конечно порождены.

Нётеровость — очень важное условие конечности, и это условие сохраняется при выполнении многих операций, часто встречающихся в геометрии. Например, если $R$ нётерово, то и кольцо полиномов $R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]$ (по базовой теореме Гильберта ), любая локализация $S^{-1}R$, а также любое фактор-кольцо $R/I$.

Любое ненетерово кольцо $R$ есть объединение его нётеровых подколец. Этот факт, известный как нетерова аппроксимация , позволяет распространить некоторые теоремы на ненетеровы кольца.

Артиновы кольца

Кольцо называется артиновым (по имени Эмиля Артина ), если каждая нисходящая цепочка идеалов

$$R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots$$

в конце концов становится стационарным. Несмотря на то, что два условия кажутся симметричными, нётеровы кольца гораздо более общие, чем артиновы кольца. Например, $\mathbb {Z}$ нётерова, так как всякий идеал может быть порождён одним элементом, но не артинова, как цепь

$$\mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots$$

шоу. Фактически, по теореме Хопкинса-Левицкого каждое артиново кольцо нётерово. Точнее, артиновы кольца можно охарактеризовать как нётеровы кольца, размерность Крулля которых равна нулю.

Спектр коммутативного кольца

Главные идеалы

Основная статья: Главный идеал

Как было упомянуто выше, $\mathbb {Z}$ является уникальной областью факторизации . Это неверно для более общих колец, как поняли алгебраисты в XIX веке. Например, в

$$\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$$

есть два действительно различных способа записи 6 как произведения:

$$6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).$$

Первичные идеалы, в отличие от простых элементов, позволяют обойти эту проблему. Первичный идеал — это собственный (т. е. строго содержащийся в $R$) идеал $p$ так что всякий раз, когда продукт $ab$ любых двух кольцевых элементов $a$ и $b$ находится в $p,$ хотя бы один из двух элементов уже есть $p.$ (Противоположный вывод по определению справедлив для любого идеала.) Таким образом, если простой идеал является главным, он эквивалентно порождается простым элементом. Однако в таких кольцах, как $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],$ первичные идеалы не обязательно должны быть главными. Это ограничивает использование простых элементов в теории колец. Однако краеугольным камнем алгебраической теории чисел является тот факт, что в любом дедекиндовом кольце (которое включает $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ и, в более общем смысле, кольцо целых чисел в числовом поле ) любой идеал (например, порожденный числом 6) однозначно разлагается как произведение простых идеалов.

Любой максимальный идеал является первичным идеалом или, короче, первичен. Более того, идеал $I$ является простым тогда и только тогда, когда факторкольцо $R/I$ является целостной областью. Доказать, что идеал является простым или, что то же самое, что кольцо не имеет делителей нуля, может быть очень сложно. Еще один способ выразить то же самое — сказать, что дополнение $R\setminus p$ является мультипликативно замкнутым. Локализация $\left(R\setminus p\right)^{-1}R$ достаточно важно, чтобы иметь свои собственные обозначения: $R_{p}$. Это кольцо имеет только один максимальный идеал, а именно $pR_{p}$. Такие кольца называются локальными .

Спектр

Основная статья: Спектр кольца

Spec ( Z ) содержит точку нулевого идеала. Замыканием этой точки является все пространство. Остальные точки соответствуют идеалам ( p ), где p — простое число. Эти точки закрыты.

Спектр кольца $R$, обозначается ${\text{Spec}}\ R$, представляет собой множество всех простых идеалов $R$. Он оснащен топологией Зарисского , которая отражает алгебраические свойства $R$: базис открытых подмножеств определяется выражением

$$D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\},$$

где $f$ — любой кольцевой элемент.Устный перевод $f$ как функция, которая принимает значение f mod p (т. е. образ f в поле вычетов R / p ), это подмножество является локусом, где f не равно нулю. Спектр также уточняет интуитивное представление о том, что локализационные и факторкольца дополняют друг друга: естественные отображения R → R _f и R → R / fR соответствуют, после наделения спектров рассматриваемых колец их топологией Зарисского, дополнительным открытым и закрытым погружениям. соответственно. Даже для базовых колец, таких как проиллюстрировано для R = Z справа, топология Зарисского сильно отличается от топологии на множестве действительных чисел.

Спектр содержит набор максимальных идеалов, который иногда обозначается mSpec( R ). Для алгебраически замкнутого поля k mSpec (k[ T ₁ , ..., T _n ] / ( f ₁ , ..., f _m )) находится в биекции с множеством

{ Икс знак равно ( Икс ₁ , ..., Икс _п ) ∊ k ^н

Таким образом, максимальные идеалы отражают геометрические свойства множеств решений многочленов, что является исходной мотивацией для изучения коммутативных колец. Однако рассмотрение немаксимальных идеалов как части геометрических свойств кольца полезно по нескольким причинам. Например, минимальные простые идеалы (т. е. те, которые не содержат строго меньших) соответствуют неприводимым компонентам Spec R . Для нётерова кольца R Spec R имеет лишь конечное число неприводимых компонент. Это геометрическая формулировка первичного разложения , согласно которой любой идеал можно разложить как произведение конечного числа первичных идеалов . Этот факт является окончательным обобщением разложения на простые идеалы в дедекиндовых кольцах.

Аффинные схемы

Понятие спектра является общей основой коммутативной алгебры и алгебраической геометрии . наделяя Spec R пучком Алгебраическая геометрия развивается , ${\mathcal {O}}$ (объект, который собирает функции, определенные локально, т. е. на различных открытых подмножествах). База пространства и пучка называется аффинной схемой . Учитывая аффинную схему, базовое кольцо R можно восстановить как секции глобальные ${\mathcal {O}}$. Более того, это взаимно однозначное соответствие между кольцами и аффинными схемами также совместимо с гомоморфизмами колец: любое f : R → S порождает непрерывное отображение в противоположном направлении.

Спец S → Спец R , q ↦ f ⁻¹ ( q ), т. е. любой простой идеал S отображается в его прообраз при отображении f , который является простым идеалом R .

Полученная эквивалентность двух указанных категорий удачно отражает алгебраические свойства колец геометрическим образом.

Подобно тому, как многообразия локально задаются открытыми подмножествами R ^н , аффинные схемы являются локальными моделями схем , которые являются объектом изучения в алгебраической геометрии. Таким образом, некоторые представления о коммутативных кольцах вытекают из геометрической интуиции.

Размер

Основная статья: Измерение Крулла

Размерность Крулля (или размерность) dim R кольца R измеряет «размер» кольца, грубо говоря, путем подсчета независимых элементов в R . Размерность алгебр над полем k можно аксиоматизировать четырьмя свойствами:

• Размерность является локальным свойством: dim R = sup _{p ∊ Spec R} dim R _p .
• Размерность не зависит от нильпотентных элементов: если I ⊆ R нильпотентен, то dim R = dim R / I .
• Размерность остается постоянной при конечном расширении: если S — R -алгебра, конечно порожденная как R -модуль, то dim S = dim R .
• Размерность калибруется dim k [ X ₁ , ..., X _n ] = n . Эта аксиома мотивирована тем, что кольцо многочленов от n переменных рассматривается как алгебраический аналог n -мерного пространства .

Размерность для любого кольца R определяется как верхняя грань длин n цепочек простых идеалов.

п ₀ ⊊ п ₁ ⊊ ... ⊊ п _п .

Например, поле нульмерно, поскольку единственным простым идеалом является нулевой идеал. Целые числа одномерны, поскольку цепочки имеют вид (0) ⊊ ( p ), где p — простое число . Для ненетеровых колец, а также нелокальных колец размерность может быть бесконечной, но нётеровы локальные кольца имеют конечную размерность. Среди четырех вышеперечисленных аксиом первые две являются элементарными следствиями определения, тогда как остальные две зависят от важных фактов коммутативной алгебры , теоремы о подъеме и теоремы Крулла о главном идеале .

Кольцевые

Основная статья: Кольцевой гомоморфизм

Кольцевой гомоморфизм или, в более просторечии, просто отображение — это отображение f : R → S такое, что

ж ( а + б ) знак равно ж ( а ) + ж ( б ), ж ( ab ) знак равно ж ( а ) ж ( б ) и ж (1) = 1.

Эти условия обеспечивают f (0) = 0 . Таким образом, как и в случае других алгебраических структур, гомоморфизм колец представляет собой отображение, совместимое со структурой рассматриваемых алгебраических объектов. В такой ситуации S также называют R -алгеброй, понимая, что s в S можно умножить на некоторое r из R , полагая

р · s := ж ( р ) · s .

Ядро ( и образ f ( определяются формулами ker( f ) = { r ∈ R , f R r ) = 0} im f ) = f ( R ) = { f ( r ), r ∈ и } . Ядро — идеал кольца R образ — подкольцо кольца S. , а

Кольцевой гомоморфизм называется изоморфизмом, если он биективен. Примером кольцевого изоморфизма, известного как китайская теорема об остатках , является

$$\mathbf {Z} /n=\bigoplus _{i=0}^{k}\mathbf {Z} /p_{i},$$

где n = p ₁ p ₂ ... p _k — произведение попарно различных простых чисел .

Коммутативные кольца вместе с кольцевыми гомоморфизмами образуют категорию . Кольцо Z является исходным объектом в этой категории, а это означает, что для любого коммутативного кольца существует единственный гомоморфизм колец Z → R. R С помощью этого отображения целое число n можно рассматривать как элемент R . Например, биномиальная формула

$$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$$

которое справедливо для любых двух элементов a и b в любом коммутативном кольце R, понимается в этом смысле путем интерпретации биномиальных коэффициентов как элементов R с использованием этого отображения.

Универсальное свойство гласит, что для любых двух S ⊗ _R T отображений S → W и T → W , которые заставляют внешний четырехугольник коммутировать, существует единственное отображение S ⊗ _RT , которое делает → W всю диаграмму коммутирующей.

Даны две R -алгебры S и T , их тензорное произведение

С ⊗ _Р Т

снова является коммутативной R -алгеброй. В некоторых случаях тензорное произведение может служить для нахождения T которая относится к Z так же, как S относится к R. -алгебры , Например,

р [ Икс ] ⊗ _р Т знак равно Т [ Икс ].

Конечное поколение

R если -алгебра S называется конечно порожденной (как алгебра), существует конечное число элементов s1 _, ..., sn _таких , что любой элемент из s выражается в виде многочлена si _от . Эквивалентно, S изоморфен

Р [ Т ₁ , ..., Т _п ] / Я .

Гораздо более сильное условие состоит в том, что S конечно порожден как R -модуль , а это означает, что любой s может быть выражен как R -линейная комбинация некоторого конечного множества s ₁ , ..., s _n .

Местные кольца

Кольцо называется локальным , если оно имеет только один максимальный идеал, обозначаемый m . Для любого (не обязательно локального) кольца R локализация

Р _п

в простом идеале p локально. Эта локализация отражает геометрические свойства Spec R «вокруг p ». Некоторые понятия и проблемы коммутативной алгебры можно свести к случаю, когда R локально, что делает локальные кольца особенно глубоко изученным классом колец. Поле вычетов R как определяется

k знак равно р / м .

Любой R -модуль M дает k -векторное пространство, заданное M / mM . Лемма Накаямы показывает, что этот отрывок сохраняет важную информацию: конечно порожденный модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда M / mM равен нулю.

звонки

Кривая кубической плоскости (красная), определяемая уравнением y ² = х ² ( x + 1 ) сингулярно в начале координат, т. е. кольцо k [ x , y ] / y ² − х ² ( x + 1 ), не является регулярным кольцом. Касательный конус (синий) представляет собой объединение двух линий, что также отражает особенность.

k / -векторное m пространство m ² является алгебраическим воплощением кокасательного пространства . Неформально элементы m можно рассматривать как функции, которые обращаются в нуль в точке p , тогда как m ² содержит те, которые обращаются в нуль при порядке не ниже 2. Для любого нётерова локального кольца R выполняется неравенство

тусклый _км ​ / м ² ≥ тусклый R

справедливо, отражая идею о том, что кокасательное (или, что то же самое, касательное) пространство имеет, по крайней мере, размерность пространства Spec R . Если в этой оценке справедливо равенство, R называется регулярным локальным кольцом . Нётерово локальное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда кольцо (которое является кольцом функций на касательном конусе )

$$\bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}$$

изоморфно кольцу полиномов над k . Вообще говоря, регулярные локальные кольца чем-то похожи на кольца полиномов. Регулярные местные кольца - это УФО.

Кольца дискретных оценок снабжены функцией, которая присваивает целое число любому элементу r . Это число, называемое оценкой r, можно неформально рассматривать как нулевой или полюсный порядок r . Кольца дискретного нормирования — это в точности одномерные регулярные локальные кольца. Например, кольцо ростков голоморфных функций на римановой поверхности является кольцом дискретного нормирования.

Полные пересечения

( Скрученный куб зеленый) представляет собой теоретико-множественное полное пересечение, но не полное пересечение.

Согласно теореме Крулла о главном идеале , основополагающему результату теории размерности колец , размерность

р знак равно k [ Т ₁ , ..., Т _р ] / ( ж ₁ , ..., ж _п )

не менее r − n . Кольцо R называется полным кольцом пересечений, если его можно представить таким образом, чтобы достичь этой минимальной границы. Это понятие также в основном изучается для локальных колец. Любое регулярное локальное кольцо является кольцом полного пересечения, но не наоборот.

Кольцо R является теоретико- множественным полным пересечением, если приведенное кольцо, ассоциированное с R , т. е. кольцо, полученное делением всех нильпотентных элементов, является полным пересечением. По состоянию на 2017 год вообще неизвестно, являются ли кривые в трехмерном пространстве теоретико-множественными полными пересечениями.

-

Глубина a локального кольца R — это количество элементов в некоторой (или, как можно показать, любой) максимальной регулярной последовательности, т. е. последовательности 1 _, ..., a _n ∈ m такой, что все a _i являются ненулевыми делителями в

р / ( а ₁ , ..., а _{я -1} ).

Для любого локального нётерова кольца справедливо неравенство

глубина( р ) ≤ тусклый( р )

держит. Локальное кольцо, в котором имеет место равенство, называется кольцом Коэна–Маколея . Локальные кольца полного пересечения и, тем более, регулярные локальные кольца являются кольцами Коэна–Маколея, но не наоборот. Коэн-Маколей сочетает в себе желательные свойства регулярных колец (такие как свойство быть универсально цепными кольцами , что означает, что (ко)размерность простых чисел хорошо себя ведет), но также более устойчивы к факторам, чем регулярные локальные кольца.

Построение коммутативных колец

Существует несколько способов построить новые кольца из уже имеющихся. Целью таких конструкций часто является улучшение некоторых свойств кольца, чтобы сделать его более понятным. Например, область целостности, целозамкнутая в своем поле частных, называется нормальной . Это желательное свойство, например, любое нормальное одномерное кольцо обязательно является регулярным . Рендеринг кольцевая нормаль известна как нормализация .

Завершения

Если I — идеал в коммутативном кольце R , степени I образуют топологические окрестности 0 , что позволяет R рассматривать как топологическое кольцо . Эта топология называется I -адической топологией . Затем R можно завершить относительно этой топологии. Формально I -адическое пополнение является обратным пределом колец R / I ^н . Например, если k — поле, k [[ X ]], кольцо формальных степенных рядов от одной переменной над k , является I -адическим пополнением поля k [ X ], где I — главный идеал, X. порожденный Это кольцо служит алгебраическим аналогом диска. Аналогично, кольцо p -адических целых чисел является пополнением Z относительно главного идеала ( p ). Любое кольцо, изоморфное своему пополнению, называется полным .

Полные локальные кольца удовлетворяют лемме Гензеля грубо говоря, позволяет распространить решения (различных задач) по полю вычетов k на R. , которая ,

понятия

Несколько более глубоких аспектов коммутативных колец были изучены с использованием методов гомологической алгебры . Хохстер (2007) перечисляет некоторые открытые вопросы в этой области активных исследований.

модули и

Проективные модули можно определить как прямые слагаемые свободных модулей. Если R локально, любой конечно порожденный проективный модуль фактически свободен, что дает содержание аналогии между проективными модулями и векторными расслоениями . Теорема Квиллена –Суслина утверждает, что любой конечно порожденный проективный модуль над k [ T ₁ , ..., T _n ] ( k поле) является свободным, но в общем случае эти два понятия различаются. Локальное нетерово кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда его глобальная размерность конечна, скажем, n , что означает, что любой конечно порожденный R -модуль имеет разрешение проективными модулями длины не более n .

Доказательство этого и других подобных утверждений основано на использовании гомологических методов, таких как Экст функтор . Этот функтор является производным функтором функтора

Хом _R ( M , −).

Последний функтор точен, если M проективно, но не иначе: для сюръективного отображения E → F R -модулей отображение M → F не обязательно продолжается до отображения M → E . Высшие функторы Ext измеряют неточность Hom-фунтора. Важность этой стандартной конструкции в основах гомологической алгебры можно увидеть из того факта, что локальное нётерово кольцо R с полем вычетов k регулярно тогда и только тогда, когда

доб. ^н ( к , к )

исчезает для всех достаточно больших n . Более того, размерности этих Ext-групп, известные как числа Бетти , растут полиномиально по n тогда и только тогда, когда R — локальное полное кольцо пересечений. Ключевым аргументом в таких рассмотрениях является комплекс Кошуля , который обеспечивает явное свободное разрешение поля вычетов k локального кольца R в терминах регулярной последовательности.

Плоскость

Тензорное произведение — еще один неточный функтор, актуальный в контексте коммутативных колец: для общего R -модуля M функтор

М ⊗ _Р −

только правильно точно. Если это точно, M называется плоским . Если R локально, любой конечно представленный плоский модуль не имеет конечного ранга и, следовательно, проективен. Несмотря на то, что плоскостность определяется в терминах гомологической алгебры, она имеет глубокие геометрические последствия. Например, если R -алгебра S плоская, размеры слоев

S / pS = S ⊗ _р R / p

(для простых идеалов p в R ) имеют «ожидаемую» размерность, а именно dim S − dim R + dim( R / p ) .

Свойства

По теореме Веддерберна каждое конечное тело коммутативно и, следовательно, является конечным полем . Другое условие, обеспечивающее коммутативность кольца, по Якобсону , состоит в следующем: для каждого элемента r из R существует целое число n > 1 такое, что r ^н = р . Если, р ² = r для каждого r , кольцо называется булевым кольцом . Известны и более общие условия, гарантирующие коммутативность кольца.

Обобщения

Градуированно-коммутативные кольца

Пара штанов — это кобордизм круга и двух непересекающихся кругов. Классы кобордизмов с декартовым произведением как умножением и непересекающимся объединением как суммой образуют кольцо кобордизмов .

Градуированное кольцо R = ⨁ _{i ∊ Z} R _i называется градуированно-коммутативным для всех однородных элементов a и b , если

аб = (−1) ^{ты а ⋅ ты б} нет .

Если R _i соединены дифференциалами ∂ такими, что выполняется абстрактная форма правила произведения , т. е.

∂( аб ) = ∂( а ) б + (−1) ^{ты ​} а∂( б ),

R называется коммутативной дифференциальной градуированной алгеброй (cdga). Примером может служить комплекс дифференциальных форм на многообразии , умножение которого задано внешним произведением , является cdga. Когомологии cdga — это градуированное коммутативное кольцо, иногда называемое кольцом когомологий . Таким образом возникает широкий спектр примеров градуированных колец. Например, кольцо Лазара — это кольцо классов кобордизмов комплексных многообразий.

Градуированно-коммутативное кольцо относительно градуировки по Z /2 (в отличие от Z ) называется супералгеброй .

Родственное понятие — почти коммутативное кольцо , что означает, что R фильтруется кольцо таким образом, что соответствующее градуированное

гр R := ⨁ F _я R / ⨁ F _{я −1} R

является коммутативным. Примером может служить алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов .

Симплициальные коммутативные кольца

Симплициальное коммутативное кольцо — симплициальный объект в категории коммутативных колец. Они являются строительными блоками для (связной) производной алгебраической геометрии . Близкое, но более общее понятие — это E∞ _- кольцо .

Применение коммутативных колец

• Голоморфные функции
• Алгебраическая K-теория
• Топологическая К-теория
• Разделенные властные структуры
• Векторы Витта
• Алгебра Гекке (используется в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма )
• Менструальные кольца Фонтейна
• Кластерная алгебра
• Алгебра свертки (коммутативной группы)
• Алгебра Фреше

См. также

• Почти кольцо , некоторое обобщение коммутативного кольца.
• Делимость (теория колец) : нильпотентный элемент (например, двойственные числа )
• Идеалы и модули: Радикал идеала , эквивалентность Морита.
• Гомоморфизмы колец : целочисленный элемент : Теорема Кэли–Гамильтона , Целосомкнутая область , Кольцо Крулла , Теорема Крулла–Акидзуки , Теорема Мори–Нагаты
• Простые числа: лемма об избежании простых чисел , радикал Джекобсона , нильрадикал кольца , спектр: компактное пространство , связное кольцо , дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами , теорема Банаха–Стоуна.
• Локальные кольца : локальное кольцо Горенштейна (также используется в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма ): Двойственность (математика) , Эбен Матлис ; Дуализирующий модуль , теорема Попеску , аппроксимационная теорема Артина .

Ссылки

• Кристенсен, Ларс Винтер; Струли, Джанет; Величе, Оана (2010), «Рост минимального инъективного разрешения локального кольца», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 81 (1): 24–44, arXiv : 0812.4672 , doi : 10.1112/jlms/jdp058 , S2CID   14764965
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. В целях алгебраической геометрии. , Тексты для аспирантов по математике , вып. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Хохстер, Мелвин (2007), «Гомологические гипотезы, старые и новые», Illinois J. Math. , 51 (1): 151–169, doi : 10.1215/ijm/1258735330
• Джейкобсон, Натан (1945), «Теория структуры алгебраических алгебр ограниченной степени», Annals of Mathematics , 46 (4): 695–707, doi : 10.2307/1969205 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969205
• Любезник, Геннадий (1989), «Обзор проблем и результатов о числе определяющих уравнений», Представления, резольвенты и переплетающиеся числа , стр. 375–390, Zbl   0753.14001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-36764-6
• Пинтер-Лаке, Джеймс (2007), «Условия коммутативности колец: 1950–2005», Expositiones Mathematicae , 25 (2): 165–174, doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001 , ISSN   0723-0869

Дальнейшее чтение

• Атья, Майкл ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co.
• Бальцежик, Станислав; Юзефиак, Тадеуш (1989), Коммутативные нетеровы кольца и кольца Крулля , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения , Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155615-7
• Бальцежик, Станислав; Юзефиак, Тадеуш (1989), Размерность, кратность и гомологические методы , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения., Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155623-2
• Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , MR   0345945
• Нагата, Масаеши (1975) [1962], Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Interscience Publishers, стр. xiii+234, ISBN.  978-0-88275-228-0 , МР   0155856
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1958–60), Коммутативная алгебра I, II , Университетская серия по высшей математике, Принстон, Нью-Джерси: D. van Nostand, Inc. (Переиздано Springer в 1975–76 годах как тома 28–29 текстов для аспирантов по математике. )