Нётерово кольцо

В математике — нётерово кольцо это кольцо , которое удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых и правых идеалах ; если условие цепочки выполняется только для левых идеалов или для правых идеалов, то кольцо называется левонетеровым или правонетеровым соответственно. То есть каждая возрастающая последовательность $I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots$ из левых (или правых) идеалов имеет наибольший элемент; то есть существует n такое, что: $I_{n}=I_{n+1}=\cdots .$

Эквивалентно, кольцо нётерово слева (соответственно нётерово справа), если каждый левый идеал (соответственно правый идеал) конечно порождён . Кольцо нётерово, если оно нётерово одновременно слева и справа.

Нётеровы кольца являются фундаментальными как в коммутативной , так и в некоммутативной теории колец, поскольку многие кольца, встречающиеся в математике, являются нётеровыми (в частности, кольца целых чисел , кольца многочленов и кольца целых алгебраических чисел в числовых полях ), а многие общие теоремы о кольцах сильно зависят от о нётеровости (например, теорема Ласкера–Нётер и теорема Крулля о пересечении ).

Нётеровы кольца названы в честь Эмми Нётер , но важность этой концепции была признана ранее Дэвидом Гильбертом с доказательством базовой теоремы Гильберта (которая утверждает, что полиномиальные кольца нётеровы) и теоремы Гильберта о сизигиях .

Характеристики

Для некоммутативных колец необходимо различать три очень похожих понятия:

• Кольцо нётерово слева , если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых идеалах.
• Кольцо нётерово справа , если оно удовлетворяет условию возрастающей цепочки правых идеалов.
• Кольцо нётерово, если оно нётерово одновременно слева и справа.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают, но в целом они различны. Существуют кольца левонетеровы, а не правонетеровы, и наоборот.

Существуют и другие, эквивалентные определения того, что кольцо R нётерово слева:

• Каждый левый идеал I в R , конечно порождён т.е. существуют элементы $a_{1},\ldots ,a_{n}$ во я такой, что $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$.
• Каждое непустое множество левых идеалов R , частично упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент .

Аналогичные результаты справедливы и для нётеровых справа колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием нётеровости кольца R слева и является : оригинальной формулировкой Гильберта

• Учитывая последовательность $f_{1},f_{2},\dots$ элементов из R существует целое число $n$ такой, что каждый $f_{i}$ представляет собой конечную линейную комбинацию ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$ с коэффициентами $r_{j}$ в Р. ​

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый простой идеал кольца был конечно порождён. Однако недостаточно требовать, чтобы все максимальные идеалы были конечно порождены, поскольку существует ненетерово локальное кольцо , максимальный идеал которого является главным (см. контрпример к теореме Крулла о пересечении в разделе Локальное кольцо # Коммутативный случай ).

Свойства

• Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов $R[X]$ является нётеровой по основной теореме Гильберта . По индукции , $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ является нётеровым кольцом. Кроме того, R [[ X ]] , кольцо степенных рядов , является нетеровым кольцом.
• Если R — нётерово кольцо, а I — двусторонний идеал, то факторкольцо R / I также нётерово. Другими словами, образ любого сюръективного гомоморфизма нётерового кольца нётеров.
• Любая конечно порожденная коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом нётерова. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
• Кольцо R нётерово слева тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный левый R -модуль является нетеровым модулем .
• Если коммутативное кольцо допускает над собой точный нетеров модуль, то это кольцо является нетеровым.
• ( Икин – Нагата ) Если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B такого, что B — конечно порождённый модуль над A , то A — нётерово кольцо.
• Аналогично, если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B, такое что B точно плоское над A (или, в более общем смысле, представляет A как чистое подкольцо ), то A является нётеровым кольцом (см. статью «точно плоское» для рассуждения).
• Любая локализация коммутативного нётерова кольца нётерова.
• Следствием теоремы Акизуки–Хопкинса–Левицкого является то, что каждое артиново слева кольцо нётерово слева. Другое следствие состоит в том, что артиново слева кольцо нётерово справа тогда и только тогда, когда оно артиново справа. Аналогичные утверждения с поменянными местами «правыми» и «левыми» также верны.
• Левое нетерово кольцо является левокогерентным , а левая нётерова область является левой областью Оре .
• (Бас) Кольцо нётерово (слева/справа) тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных ( левых/правых) модулей инъективна. Каждый левый инъективный модуль над левым нетеровым модулем можно разложить в прямую сумму неразложимых инъективных модулей. См. также #Импликация об инъективных модулях ниже.
• В коммутативном нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальных простых идеалов . Кроме того, условие нисходящей цепи выполняется для простых идеалов.
• В коммутативной нётеровой области R каждый элемент можно разложить на неприводимые элементы (короче говоря, R — это область факторизации ). Таким образом, если, кроме того, факторизация уникальна с точностью до умножения факторов на единицы , то R является уникальной областью факторизации .

Примеры

• Любое поле, включая поля рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел , является нетеровым. (У поля есть только два идеала — оно само и (0).)
• Любое кольцо главных идеалов , например целых чисел, является нетеровым, поскольку каждый идеал порождается одним элементом. Сюда входят области главных идеалов и евклидовы области .
• ( Дедекиндова область например, кольца целых чисел ) — это нётерова область, в которой каждый идеал порождается не более чем двумя элементами.
• Координатное кольцо аффинного многообразия является нетеровым кольцом как следствие базисной теоремы Гильберта.
• Обертывающая алгебра U конечномерной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является нётеровым кольцом как слева, так и справа; это следует из того, что ассоциированное градуированное кольцо U является фактором $\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})$, которое является кольцом полиномов над полем ( теорема ПБВ ); таким образом, нетеровский. По той же причине алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов нётеровы.
• Кольцо многочленов от конечного числа переменных над целыми числами или полем нётерово.

Кольца, которые не являются нетеровскими, обычно (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров ненётеровых колец:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных, X ₁ , X ₂ , X ₃ и т. д. Последовательность идеалов ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ) и т. д. . возрастает и не заканчивается.
• Кольцо всех целых алгебраических чисел не нётерово. Например, он содержит бесконечную возрастающую цепочку главных идеалов: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• Кольцо непрерывных функций от действительных чисел до действительных чисел не нётерово: пусть I _n — идеал всех непрерывных функций f таких, что f ( x ) = 0 для всех x ≥ n . Последовательность идеалов I ₀ , I ₁ , I ₂ и т. д. представляет собой восходящую цепь, которая не заканчивается.
• Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не нётерово.

Однако ненетерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая область целостности является подкольцом поля, примером может служить любая область целостности, не являющаяся нетеровой. Приведем менее тривиальный пример:

• Кольцо рациональных функций, порожденное x и y / x ^н над полем k является подкольцом поля k ( x , y ) только с двумя переменными.

Действительно, существуют кольца нётеровы справа, но не нетеровы слева, так что нужно быть осторожным при измерении «размера» кольца таким способом. Например, L — подгруппа Q если ² изоморфно Z R , пусть — кольцо гомоморфизмов f из Q ² себе самому, удовлетворяющему f ( L ) ⊂ L . Выбрав базис, мы можем описать то же кольцо R как

$R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.$

Это кольцо нётерово справа, но не нётерово слева; подмножество I ⊂ R, состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, который не является конечно порожденным как левый R -модуль.

Если R — коммутативное подкольцо нетерово слева кольца S и S конечно порождено как левый R -модуль, то R нетерово. (В частном случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Икина .) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего параграфа является подкольцом левого нетерова кольца S = Hom( Q ² , Кью ² ), а S конечно порожден как левый R -модуль, но R не нётерово слева.

Уникальная область факторизации не обязательно является нетеровым кольцом. Он действительно удовлетворяет более слабому условию: условию восходящей цепи главных идеалов . Кольцо полиномов от бесконечного числа переменных является примером ненетеровой уникальной области факторизации.

Кольцо нормирования не является нетеровым, если оно не является областью главных идеалов. Он дает пример кольца, которое естественным образом возникает в алгебраической геометрии , но не является нетеровым.

Нётеровы групповые кольца

Рассмотрим групповое кольцо $R[G]$ группы ​ $G$ по кольцу $R$. Это кольцо и ассоциативная алгебра над $R$ если $R$ является коммутативным . Для группы $G$ и коммутативное кольцо $R$, следующие два условия эквивалентны.

• Кольцо $R[G]$ является левонетеровским.
• Кольцо $R[G]$ право-нетерово.

Это связано с тем, что в этом случае существует биекция между левым и правым идеалами группового кольца через $R$- ассоциативной алгебры гомоморфизм

$R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },$

$g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).$

Позволять $G$ быть группой и $R$ кольцо. Если $R[G]$ является левым/правым/двусторонним нётером, тогда $R$ является левым/правым/двусторонним нетеровым и $G$ является нетеровой группой . И наоборот, если $R$ является нётеровым коммутативным кольцом и $G$ является расширением ( нётеровой разрешимой группы т.е. полициклической группы ) конечной группой , то $R[G]$ является двусторонним нётером. С другой стороны, однако, существует нётеровская группа. $G$ групповое кольцо которого над любым нетеровым коммутативным кольцом не является двусторонним нетеровым.

Ключевые

Многие важные теоремы теории колец (особенно теории коммутативных колец ) основаны на предположениях о нётеровости колец.

Коммутативный падеж

• Над коммутативным нётеровым кольцом каждый идеал имеет первичное разложение , что означает, что его можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов ( все радикалы которых различны), где идеал Q называется первичным, если он собственный и всякий раз, когда xy ∈ Q , либо x ∈ Q , либо y ^н ∈ Q для некоторого натурального числа n . Например, если элемент $f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}$ является произведением степеней различных простых элементов, то $(f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})$ и, таким образом, первичное разложение является прямым обобщением простой факторизации целых чисел и многочленов.
• Нётерово кольцо определяется в терминах возрастающих цепочек идеалов. С другой стороны, лемма Артина -Риса дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, заданной степенями идеалов. $I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots$. Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема пересечения Крулла .
• Теория размерности коммутативных колец плохо работает над ненетеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, теорема Крулля о главном идеале , уже опирается на «нётерово» предположение. Здесь, на самом деле, «нетеровского» предположения часто недостаточно, и вместо него часто используются (нетеровы) универсально цепные кольца , удовлетворяющие определенному теоретико-размерному предположению. Нётеровы кольца, встречающиеся в приложениях, в основном являются цепными.

Некоммутативный случай

• Теорема Голди

Влияние на инъективные модули

Для кольца существует тесная связь между поведением инъективных модулей над кольцом и тем, является ли оно нетеровым кольцом или нет. А именно, для кольца R следующие условия эквивалентны:

• R — нётерово слева кольцо.
• (Бас) Каждая прямая сумма инъективных левых R -модулей инъективна.
• Каждый инъективный левый R -модуль является прямой суммой неразложимых инъективных модулей.
• (Фейт-Уокер) Существует кардинальное число . ${\mathfrak {c}}$ такой, что каждый инъективный левый модуль над R является прямой суммой ${\mathfrak {c}}$-сгенерированные модули (модуль ${\mathfrak {c}}$ если он имеет порождающий набор мощности -сгенерирован , не более ${\mathfrak {c}}$).
• Существует левый R -модуль H такой, что каждый левый R -модуль вкладывается в прямую сумму копий H .

неразложимого Кольцо эндоморфизмов инъективного модуля локально. и, таким образом, теорема Адзумайи гласит, что над нётеровым слева кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно друг другу (вариант теоремы Крулля – Шмидта ).

См. также

• Нётерова схема
• Это значит в

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Атья, М.Ф., Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Аддисон-Уэсли-Лонгман. ISBN   978-0-201-40751-8
• Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра: Главы 1-7 . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-19371-7 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN  0-387-94268-8 .
• Форманек, Эдвард ; Джатегаонкар, Арун Винаяк (1974). «Подкольца нётеровых колец» . Труды Американского математического общества . 46 (2): 181–186. дои : 10.2307/2039890 . JSTOR   2039890 .
• Хотта, Рёши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008), D-модули, извращенные пучки и теория представлений , Progress in Mathematics, vol. 236, Биркхойзер, номер номера : 10.1007/978-0-8176-4523-6 , ISBN.  978-0-8176-4363-8 , МР   2357361 , Збл   1292.00026
• Лам, Цит Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике. Том. 131 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 19. дои : 10.1007/978-1-4419-8616-0 . ISBN  0387951830 . МР   1838439 .
• Глава X Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-36764-6

Внешние ссылки

• «Нётерово кольцо» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]