Генераторная установка модуля

В математике Γ порождающий набор модуля , M над кольцом R — это подмножество такое M , что наименьший подмодуль M сам содержащий Γ, есть M (наименьший подмодуль, содержащий подмножество, представляет собой пересечение всех подмодулей, содержащих этот набор). Говорят, что тогда множество Γ порождает M . Например, кольцо R порождается единичным элементом 1 как левый R -модуль над собой. Если существует конечное порождающее множество, то модуль называется конечно порожденным .

Это относится к идеалам , которые являются подмодулями самого кольца. В частности, главный идеал — это идеал, порождающий набор которого состоит из одного элемента.

Явно, если Γ является порождающим множеством модуля M , то каждый элемент M является (конечной) R -линейной комбинацией некоторых элементов Γ; т. е. для каждого x в M существуют r ₁ , ..., rm _что в R и g ₁ , ..., g _m в Γ такие,

$x=r_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.$

Другими словами, существует сюръекция

$\bigoplus _{g\in \Gamma }R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,$

где мы написали r _g для элемента g -й компоненты прямой суммы. (По совпадению, поскольку порождающий набор всегда существует, например, сам M , это показывает, что модуль является фактором свободного модуля , что является полезным фактом.)

Генерирующий набор модуля называется минимальным , если ни одно собственное подмножество этого набора не порождает модуль. Если R — поле , то минимальный порождающий набор — это то же самое, что и базис . Если модуль не является конечно порожденным , минимального порождающего набора может не существовать.

Мощность минимального порождающего набора не обязательно должна быть инвариантом модуля; Z порождается как главный идеал 1, но он также порождается, скажем, минимальным порождающим набором {2, 3 }. Единственное, что определяется модулем, — это нижняя грань чисел образующих модуля.

Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом m и полем вычетов k и M конечно порожденным модулем. Тогда лемма Накаямы утверждает, что M имеет минимальный порождающий набор, мощность которого равна $\dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k$. Если M плоский , то этот минимальный порождающий набор линейно независим (поэтому M свободен). См. также: Минимальное разрешение .

Более уточненную информацию можно получить, если рассмотреть отношения между образующими; см. Бесплатная презентация модуля .

См. также

• Счетно генерируемый модуль
• Плоский модуль
• Инвариантный базисный номер

Ссылки

• Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра .