Стойки и квандлы

В математике удовлетворяющими стойки и квандлы — это наборы с двоичными операциями, аксиомам, аналогичным движениям Райдемейстера, используемым для управления диаграммами узлов .

Хотя они в основном используются для получения инвариантов узлов, их можно рассматривать как алгебраические самостоятельные конструкции. В частности, определение квандла аксиоматизирует свойства сопряжения в группе .

История

В 1943 году Митухиса Такасаки (高崎光久) представил алгебраическую структуру, которую он назвал Кэй (圭), которая позже стала известна как инволютивный квандл. Его мотивацией было найти неассоциативную алгебраическую структуру, которая бы отражала понятие отражения в контексте конечной геометрии . Идея была заново открыта и обобщена в неопубликованной переписке 1959 года между Джоном Конвеем и Гэвином Рейтом , которые в то время были студентами Кембриджского университета . Именно здесь впервые появляются современные определения квандлов и стоек. Рэйф заинтересовался этими структурами (которые он первоначально назвал последовательностями ) еще в школе. Конвей переименовал их в развалины , отчасти из-за игры слов в честь своего коллеги, а отчасти потому, что они возникают как остатки (или «разрушения и разрушения») группы, когда кто-то отбрасывает мультипликативную структуру и рассматривает только структуру сопряжения . Написание «стойка» теперь стало распространенным.

Эти конструкции снова всплыли на поверхность в 1980-х годах: в статье Дэвида Джойса 1982 года. (где был придуман термин quandle , произвольное бессмысленное слово), в статье Сергея Матвеева 1982 года (под названием «распределительные группоиды ») и в докладе Эгберта Брискорна на конференции 1986 года (где они были названы автоморфными множествами ). Подробный обзор стоек и их применения в теории узлов можно найти в статье Колина Рурка и Роджера Фенна .

Стойки

Стойку можно определить как набор $\mathrm {R}$ с бинарной операцией $\triangleleft$ такой, что для каждого $a,b,c\in \mathrm {R}$ закон самораспределения гласит:

$a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)$

и для каждого $a,b\in \mathrm {R} ,$ существует уникальный $c\in \mathrm {R}$ такой, что

$a\triangleleft c=b.$

Это определение, хотя и краткое и широко используемое, не является оптимальным для определенных целей, поскольку оно содержит экзистенциальный квантор, который на самом деле не является необходимым. Чтобы избежать этого, мы можем написать уникальный $c\in \mathrm {R}$ такой, что $a\triangleleft c=b$ как $b\triangleright a.$ Тогда у нас есть

$a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,$

и поэтому

$a\triangleleft (b\triangleright a)=b,$

и

$(a\triangleleft b)\triangleright a=b.$

Используя эту идею, стойку можно эквивалентно определить как набор $\mathrm {R}$ с двумя двоичными операциями $\triangleleft$ и $\triangleright$ такой, что для всех $a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}$

1. $a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)$ (левый закон самораспределения)
2. $(c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)$ (правильный закон самораспределения)
3. $(a\triangleleft b)\triangleright a=b$
4. $a\triangleleft (b\triangleright a)=b$

Удобно говорить, что элемент $a\in \mathrm {R}$ действует слева в выражении $a\triangleleft b,$ и действуя справа в выражении $b\triangleright a.$Аксиомы третьей и четвертой стоек тогда говорят, что эти левые и правые действия обратны друг другу. Используя это, мы можем исключить любое из этих действий из определения стойки. Если мы исключим правое действие и оставим левое, мы получим краткое определение, данное изначально.

В литературе по стойкам и квандлам используется множество различных условных обозначений. Например, многие авторы предпочитают работать только с правильным действием. Кроме того, использование символов $\triangleleft$ и $\triangleright$ ни в коем случае не является универсальным: многие авторы используют экспоненциальную запись

$a\triangleleft b={}^{a}b$

и

$b\triangleright a=b^{a},$

пока многие другие пишут

$b\triangleright a=b\star a.$

Еще одно эквивалентное определение стойки состоит в том, что это набор, в котором каждый элемент действует слева и справа как автоморфизмы стойки, причем левое действие является обратным правом. В этом определении тот факт, что каждый элемент действует как автоморфизм, кодирует левый и правый законы самораспределения, а также эти законы:

${\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}$

которые являются следствием определений, данных ранее.

Квандлы

Квандл определяется как идемпотентная стойка, $\mathrm {Q} ,$ такой, что для всех $a\in \mathrm {Q}$

$a\triangleleft a=a,$

или эквивалентно

$a\triangleright a=a.$

Примеры и приложения

Каждая группа дает квандл, в котором операции происходят от сопряжения:

${\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}$

Фактически, каждый эквациональный закон, удовлетворяемый сопряжением в группе, следует из аксиом квандлов. Итак, можно думать о кванделе как о том, что осталось от группы, когда мы забываем умножение, тождество и обратные числа и помним только операцию сопряжения.

Каждый ручной узел в трехмерном евклидовом пространстве имеет «фундаментальный квандл». Чтобы определить это, можно отметить, что фундаментальная группа узла-дополнения, или группа узлов , имеет представление ( представление Виртингера ), в котором отношения включают только сопряжение. Так вот, эту презентацию можно использовать и как презентацию квандла. Фундаментальный квандл — очень мощный инвариант узлов. В частности, если два узла имеют изоморфные фундаментальные квандлы, то существует гомеоморфизм трехмерного евклидова пространства, который может менять ориентацию , переводя один узел в другой.

Менее мощные, но более легко вычислимые инварианты узлов могут быть получены путем подсчета гомоморфизмов из квандла узла в фиксированный квандл. $\mathrm {Q} .$ Поскольку представление Виртингера имеет один генератор для каждой нити диаграммы узлов , эти инварианты можно вычислить, подсчитав способы маркировки каждой нити элементом диаграммы. $\mathrm {Q} ,$с учетом определенных ограничений. Более сложные инварианты такого типа можно построить с помощью когомологий кванделов .

The Квандлы Александера также важны, поскольку их можно использовать для вычисления полинома Александера узла. Позволять $\mathrm {A}$ быть модулем над кольцом $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ от полиномов Лорана одной переменной. Тогда Александра квандл $\mathrm {A}$ превращен в квандл с левым действием, заданным

$a\triangleleft b=tb+(1-t)a.$

Стойки являются полезным обобщением квандлов в топологии, поскольку, хотя квандлы могут представлять собой узлы на круглом линейном объекте (например, веревке или нити), стойки могут представлять собой ленты, которые можно как скручивать, так и завязывать.

Квандл $\mathrm {Q}$ называется инволютивным, если для всех $a,b\in \mathrm {Q} ,$

$a\triangleleft (a\triangleleft b)=b$

или эквивалентно,

$(b\triangleright a)\triangleright a=b.$

Любое симметричное пространство дает инволютивный квандл, где $a\triangleleft b$ является результатом «размышления» $b$ через $a$'.

См. также

• Бираки и биквандли
• Стол Лейвера

Внешние ссылки

• Knot Quandaries Quelled by Quandles - введение для студентов в квандлы и другие инварианты узлов
• Обзор идей Quandle Скотта Картера
• Инварианты узлов, полученные из квандлов и стоек Сейичи Камада
• Полки, стойки, шпиндели и кванды , с. 56 из «Алгебр лжи 2» Алисы Кранс
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle