Бираки и биквандли

В математике биквандлы представляют собой множества с бинарными операциями , и бираки обобщающими квандлы и стойки . Биквандлы занимают в теории виртуальных узлов то место, которое квандлы занимают в теории классических узлов . Бираки и стойки имеют одинаковое отношение, а биквандл — это бирак, удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям.

Определения

Биквандлы и бираки выполняют две бинарные операции на множестве. $X$ написано $a^{b}$ и $a_{b}$. Они удовлетворяют следующим трем аксиомам:

1. $(a^{b})^{c_{b}}={a^{c}}^{b^{c}}$

2. ${a_{b}}_{c_{b}}={a_{c}}_{b^{c}}$

3. ${a_{b}}^{c_{b}}={a^{c}}_{b^{c}}$

Эти тождества появились в 1992 году в справочнике [ФРС], где объект назывался видом.

Здесь полезны верхние и нижние индексы, поскольку они устраняют необходимость в скобках. Например,если мы напишем $a*b$ для $a_{b}$ и $a\mathbin {**} b$ для $a^{b}$ тогдатри аксиомы выше становятся

1. $(a\mathbin {**} b)\mathbin {**} (c*b)=(a\mathbin {**} c)\mathbin {**} (b\mathbin {**} c)$

2. $(a*b)*(c*b)=(a*c)*(b\mathbin {**} c)$

3. $(a*b)\mathbin {**} (c*b)=(a\mathbin {**} c)*(b\mathbin {**} c)$

Если, кроме того, обе операции обратимы , то дано $a,b$ в наборе $X$ есть уникальные $x,y$ в наборе $X$ такой, что $x^{b}=a$ и $y_{b}=a$ тогда набор $X$ вместе с двумя операциями определяют birack .

Например, если $X$, с операцией $a^{b}$, является стойкой , то это бирак, если мы определяем другую операцию как тождество , $a_{b}=a$.

Для бирака функция $S:X^{2}\rightarrow X^{2}$ может быть определен

$S(a,b_{a})=(b,a^{b}).\,$

Затем

1. $S$ является биекцией

2. $S_{1}S_{2}S_{1}=S_{2}S_{1}S_{2}\,$

Во втором условии $S_{1}$ и $S_{2}$ определяются $S_{1}(a,b,c)=(S(a,b),c)$ и $S_{2}(a,b,c)=(a,S(b,c))$. Это условие иногда называют теоретико-множественным уравнением Янга-Бакстера .

Чтобы увидеть, что 1. верно, обратите внимание, что $S'$ определяется

$S'(b,a^{b})=(a,b_{a})\,$

является обратным к

$S\,$

Чтобы увидеть, что 2 верно, давайте проследим за развитием тройки. $(c,b_{c},a_{bc^{b}})$ под $S_{1}S_{2}S_{1}$. Так

$(c,b_{c},a_{bc^{b}})\to (b,c^{b},a_{bc^{b}})\to (b,a_{b},c^{ba_{b}})\to (a,b^{a},c^{ba_{b}}).$

С другой стороны, $(c,b_{c},a_{bc^{b}})=(c,b_{c},a_{cb_{c}})$. Его прогресс под $S_{2}S_{1}S_{2}$ является

$(c,b_{c},a_{cb_{c}})\to (c,a_{c},{b_{c}}^{a_{c}})\to (a,c^{a},{b_{c}}^{a_{c}})=(a,c^{a},{b^{a}}_{c^{a}})\to (a,b_{a},c_{ab_{a}})=(a,b^{a},c^{ba_{b}}).$

Любой $S$ Удовлетворяющий 1. 2. называется переключателем (предшественником биквандлов и бираков).

Примеры переключателей: идентичность, особенность $T(a,b)=(b,a)$ и $S(a,b)=(b,a^{b})$ где $a^{b}$ это работа стойки.

Коммутатор определит birack, если операции обратимы. Обратите внимание, что переключатель идентификации этого не делает.

Биквандлы

Биквандл — это бирак, который удовлетворяет некоторой дополнительной структуре, описанной Нельсоном и Рише. Аксиомы биквандла «минимальны» в том смысле, что они представляют собой самые слабые ограничения, которые можно наложить на две бинарные операции, делая при этом биквандл виртуального узла инвариантным относительно движений Райдемейстера.

Дальнейшее чтение

• Фенн, Роджер; Джордан-Сантана, Мерседес; Кауфман, Луи (2004). «Биквандлы и виртуальные связи» . Топология и ее приложения . 145 (1–3): 157–175. дои : 10.1016/j.topol.2004.06.008 .
• Фенн, Роджер; Рурк, Колин ; Сандерсон, Брайан (1993). «Введение в виды и место в стойке». Темы теории узлов . Серия НАТО ASI. Том. 399. Спрингер. стр. 33–55. дои : 10.1007/978-94-011-1695-4_4 .
• Кауфман, Луи Х. (1999). «Теория виртуального узла» . Европейский журнал комбинаторики . 20 (7): 663–690. дои : 10.1006/eujc.1999.0314 .