Виртуальный узел

Нерешенная задача по математике :

[Расширение полинома Джонса на общие 3-многообразия.] Может ли исходный полином Джонса , который определен для 1-звеньев в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3), быть расширен для 1-звеньев в любое 3-многообразие?

(еще нерешенные задачи по математике)

В теории узлов виртуальный узел — это обобщение узлов в трёхмерном евклидовом пространстве , $R 3$ , к узлам на утолщенных поверхностях $\Sigma \times [0,1]$ по модулю отношения эквивалентности, называемого стабилизацией/дестабилизацией. Здесь $\Sigma$ требуется быть замкнутым и ориентированным. Виртуальные узлы были впервые представлены Кауфманом (1999) .

Обзор

В теории классических узлов узлы можно рассматривать как классы эквивалентности диаграмм узлов относительно движений Райдемейстера . Аналогично виртуальный узел можно рассматривать как эквивалентность диаграмм виртуальных узлов, эквивалентных относительно обобщенных движений Райдемейстера. Виртуальные узлы допускают существование, например, узлов, коды Гаусса которых не могут существовать в трехмерном евклидовом пространстве . Диаграмма виртуального узла представляет собой 4-валентный планарный граф, но каждая вершина теперь может быть классическим пересечением или новым типом, называемым виртуальным. Обобщенные ходы показывают, как манипулировать такими диаграммами, чтобы получить эквивалентную диаграмму; один ход, называемый полувиртуальным ходом, включает в себя как классические, так и виртуальные скрещивания, но все остальные ходы включают только один вариант скрещивания.

Классический узел также можно рассматривать как класс эквивалентности диаграмм Гаусса при определенных ходах, происходящих из ходов Райдемейстера. Не все диаграммы Гаусса реализуемы как диаграммы узлов, но, рассматривая все классы эквивалентности диаграмм Гаусса, мы получаем виртуальные узлы.

Классический узел можно рассматривать как объемлющий изотопический класс вложений круга в сгущенную 2-сферу. Это можно обобщить, рассматривая такие классы вложений в утолщенные поверхности высшего рода. Это не совсем то, что нам нужно, поскольку добавление ручки к (толстой) поверхности создаст встраивание исходного узла более высокого рода. Добавление ручки называется стабилизацией, а обратный процесс – дестабилизацией. Таким образом, виртуальный узел можно рассматривать как объемлющий изотопический класс вложений круга в утолщенные поверхности с эквивалентностью, определяемой (де)стабилизацией.

Некоторые основные теоремы, касающиеся классических и виртуальных узлов:

Если два классических узла эквивалентны как виртуальные узлы, они эквивалентны как классические узлы.
Существует алгоритм определения того, является ли виртуальный узел классическим.
Существует алгоритм определения эквивалентности двух виртуальных узлов.

Существует связь между следующим.

Виртуальная эквивалентность виртуальных 1-узловых диаграмм, представляющих собой набор виртуальных 1-узлов.
Сварная эквивалентность виртуальных 1-узловых диаграмм
Ротационная сварка эквивалентности виртуальных 1-узловых схем
Послойная эквивалентность виртуальных 1-узловых диаграмм

См. также

Узлы и графики

Ссылки

Боден, Ганс; Нагель, Матиас (2017). «Группа согласования виртуальных узлов» . Труды Американского математического общества . 145 (12): 5451–5461. arXiv : 1606.06404 . дои : 10.1090/proc/13667 . S2CID 119139769 .
Картер, Дж. Скотт; Камада, Сейичи; Сайто, Масахико (2002). «Стабильная эквивалентность узлов на поверхностях и кобордизмы виртуальных узлов. Узлы 2000 Корея, Том 1 (Ёнпён)». Дж. Разветвления теории узлов . 11 (3): 311–322.
Картер, Дж. Скотт; Сильвер, Дэниел; Уильямс, Сьюзен (2014). «Инварианты связей в утолщенных поверхностях» . Алгебраическая и геометрическая топология . 14 (3): 1377–1394. arXiv : 1304.4655 . дои : 10.2140/agt.2014.14.1377 . S2CID 53137201 .
Дай, Хизер А. (2016). Приглашение к теории узлов: виртуальное и классическое (первое изд.). Чепмен и Холл/CRC. ISBN 9781315370750 .
Гусаров Михаил; Поляк, Михаил; Виро, Олег (2000). «Инварианты конечного типа классических и виртуальных узлов». Топология . 39 (5): 1045–1068. arXiv : math/9810073 . дои : 10.1016/S0040-9383(99)00054-3 . S2CID 8871411 .
Камада, Наоко; Камда, Сейичи (2000). «Абстрактные диаграммы связей и виртуальные узлы». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 9 (1): 93–106. дои : 10.1142/S0218216500000049 .
Кауфман, Луи Х. (1999). «Теория виртуальных узлов» (PDF) . Европейский журнал комбинаторики . 20 (7): 663–690. дои : 10.1006/eujc.1999.0314 . ISSN 0195-6698 . МР 1721925 . S2CID 5993431 .
Кауфман, Луи Х.; Мантуров, Василий Олегович (2005). «Виртуальные узлы и связи». arXiv : math.GT/0502014 .
Куперберг, Грег (2003). «Что такое виртуальная ссылка?» . Алгебраическая и геометрическая топология . 3 : 587–591. arXiv : math/0208039 . дои : 10.2140/agt.2003.3.587 . S2CID 16803280 .
Мантуров, Василий (2004). Теория узла . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-415-31001-7 .
Мантуров, Василий Олегович (2004). «Виртуальные узлы и бесконечномерные алгебры Ли». Журнал прикладной математики 83 (3): 221–233. дои : 10.1023/B:ACAP.0000038944.29820.5e . S2CID 124019548 .
Тураев, Владимир (2008). «Кобордизм узлов на поверхностях». Журнал топологии . 1 (2): 285–305. arXiv : математика/0703055 . дои : 10.1112/jtopol/jtn002 . S2CID 17888102 .

Внешние ссылки