Ход Рейдемейстера

Райдемайстер движется

Тип I	Тип II	Тип III

Модифицированный ход Райдемейстера

Тип I'

В математической области теории узлов — ход Райдемейстера это любой из трех локальных ходов на диаграмме связей . Курт Райдемайстер ( 1927 ) и независимо Джеймс Уоддел Александер и Гарланд Бэрд Бриггс ( 1926 ) продемонстрировали, что две диаграммы узлов, принадлежащие одному и тому же узлу, с точностью до планарной изотопии могут быть связаны последовательностью трех движений Райдемайстера.

Каждый ход действует на небольшой области диаграммы и относится к одному из трех типов:

1. Скручивайте и раскручивайте в любом направлении.
2. Переместите одну петлю полностью поверх другой.
3. Переместите веревку полностью над или под пересечением.

Никакая другая часть диаграммы не участвует в картине хода, и плоская изотопия может исказить картину. Нумерация типов ходов соответствует количеству задействованных цепочек, например, ход типа II действует на двух цепочках диаграммы.

Одним из важных контекстов, в которых появляются движения Райдемейстера, является определение инвариантов узлов . Инвариант определяется путем демонстрации свойства диаграммы узла, которое не меняется при применении любого из движений Райдемейстера. Таким способом можно определить многие важные инварианты, включая полином Джонса .

Движение типа I — единственное движение, которое влияет на корчание диаграммы. Ход типа III — единственный, который не меняет номер пересечения диаграммы.

В таких приложениях, как исчисление Кирби , в которых желаемый класс эквивалентности диаграмм узлов является не узлом, а структурированной связью , необходимо заменить перемещение типа I на перемещение «модифицированного типа I» (тип I'), состоящее из двух типов: Я двигаюсь противоположного смысла. Движение типа I не влияет ни на структуру звена, ни на извилистость всей диаграммы узла.

Трэйс (1983) показал, что две диаграммы узлов для одного и того же узла связаны только с использованием движений типа II и III тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число изгибов и намоток . Более того, совместная работа Эстлунда (2001) , Мантурова (2004) и Хагге (2006) показывает, что для каждого типа узла существует пара диаграмм узлов, так что каждая последовательность движений Райдемейстера, переводящая один в другой, должна использовать все три типа. ходов. Александр Кауард продемонстрировал, что для диаграмм связей, представляющих эквивалентные ссылки, существует последовательность ходов, упорядоченная по типам: сначала ходы типа I, затем ходы типа II, типа III, а затем типа II. Ходы перед ходами типа III увеличивают количество пересечений, а ходы после ходов уменьшают количество пересечений.

Кауард и Лакенби (2014) доказали существование верхней границы экспоненциальной башни (в зависимости от числа пересечений) количества ходов Райдемейстера, необходимых для перехода между двумя диаграммами одного и того же звена. Подробно, пусть $n$ быть суммой чисел пересечений двух диаграмм, то верхняя граница равна $2^{2^{2^{.^{.^{n}}}}}$ где высота башни $2$с (с одним $n$ вверху) есть $10^{1,000,000n}$

Лакенби (2015) доказал существование полиномиальной верхней границы (в зависимости от числа пересечений) количества ходов Райдемейстера, необходимых для изменения диаграммы узла на стандартный узел. Подробно, для любой такой диаграммы с $c$ пересечений, верхняя граница равна $(236c)^{11}$.

Хаяши (2005) доказал, что существует также верхняя граница, зависящая от числа пересечений, количества ходов Райдемейстера, необходимых для разделения ссылки .

Ссылки

• СМИ, связанные с переездом Райдемайстера, на Викискладе?
• Александр, Джеймс В.; Бриггс, Гарланд Б. (1926), «О типах кривых с узлами», Annals of Mathematics , 28 (1/4): 562–586, doi : 10.2307/1968399 , JSTOR   1968399 , MR   1502807
• Трус, Александр; Лакенби, Марк (2014), «Верхняя граница движений Райдемейстера» , American Journal of Mathematics , 136 (4): 1023–1066, arXiv : 1104.1882 , doi : 10.1353/ajm.2014.0027 , MR   3245186 , S2CID   55882290
• Галатоло, Стефано (1999), «О проблеме эффективной теории узлов» , Atti Accad. Нат. Линчеи Кл. Науч. Мэтт. Естественный. Возвращаться Линсианцы (9) Мат. Прил. , 9 (4): 299–306, МР   1722788
• Хагге, Тобиас (2006), «Каждое движение Райдемейстера необходимо для каждого типа узла», Proc. амер. Математика. Соц. , 134 (1): 295–301, doi : 10.1090/S0002-9939-05-07935-9 , MR   2170571
• Хасс, Джоэл ; Лагариас, Джеффри К. (2001), «Количество ходов Райдемейстера, необходимое для развязывания узлов», Журнал Американского математического общества , 14 (2): 399–428, arXiv : math/9807012 , doi : 10.1090/S0894-0347- 01-00358-7 , МР   1815217 , С2КИД   15654705
• Хаяши, Чуичиро (2005), «Количество ходов Райдемайстера для разделения ссылки», Mathematische Annalen , 332 (2): 239–252, doi : 10.1007/s00208-004-0599-x , MR   2178061 , S2CID   119728321
• Лакенби, Марк (2015), «Полиномиальная верхняя граница движений Райдемайстера», Annals of Mathematics , Second Series, 182 (2): 491–564, arXiv : 1302.0180 , doi : 10.4007/annals.2015.182.2.3 , MR   3418524 , S2CID   119662237
• Мантуров, Василий Олегович (2004), Теория узлов , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, doi : 10.1201/9780203402849 , ISBN  0-415-31001-6 , МР   2068425
• Эстлунд, Олоф-Петтер (2001), «Инварианты диаграмм узлов и отношения между движениями Райдемейстера», J. Knot Theory Ramifications , 10 (8): 1215–1227, arXiv : math/0005108 , doi : 10.1142/S0218216501001402 , MR   187122 6 , S2CID   119177881
• Райдемайстер, Курт (1927), «Элементарное обоснование теории узлов», кафедра математики Univ. Гамбург , 5 (1): 24–32, doi : 10.1007/BF02952507 , MR   3069462 , S2CID   120149796
• Трейс, Брюс (1983), «О движениях Райдемейстера классического узла», Proceedings of the American Mathematical Society , 89 (4): 722–724, doi : 10.2307/2044613 , JSTOR   2044613 , MR   0719004