Исчисление Кирби

В математике исчисление Кирби в геометрической топологии , названное в честь Робиона Кирби , — это метод модификации структурированных связей в 3-сфере с использованием конечного набора ходов, движений Кирби . Используя четырехмерную теорию Серфа , он доказал, что если M и N являются 3-многообразиями , возникающими в результате операции Дена на оснащенных связях L и J соответственно, то они гомеоморфны тогда и только тогда, когда L и J связаны последовательностью движений Кирби. . Согласно теореме Ликориша–Уоллеса любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие получается такой перестройкой на некотором звене 3-сферы.

В литературе существует некоторая двусмысленность относительно точного использования термина «движения Кирби». Различные представления «исчисления Кирби» имеют разный набор ходов, иногда их называют ходами Кирби. Первоначальная формулировка Кирби включала два типа движения: «раздутие» и «скольжение ручки»; Роджер Фенн и Колин Рурк продемонстрировали эквивалентную конструкцию с точки зрения одного хода, ход Фенна-Рурка , который появляется во многих объяснениях и расширениях исчисления Кирби. Дейла Рольфсена Книга «Узлы и связи» , из которой многие топологи изучили исчисление Кирби, описывает набор из двух ходов: 1) удалить или добавить компонент с бесконечным коэффициентом хирургии 2) скрутить вдоль незавязанного компонента и соответствующим образом изменить коэффициенты хирургии (это называется поворотом Рольфсена ). Это позволяет распространить исчисление Кирби на рациональные операции.

Существуют также различные приемы изменения хирургических схем. Одним из таких полезных приемов является « слэм-данк» .

используется расширенный набор диаграмм и ходов Для описания 4-многообразий . Ссылка в рамке в 3-сфере кодирует инструкции по прикреплению 2-ручек к 4-шару. (Трехмерная граница этого многообразия представляет собой трехмерную интерпретацию упомянутой выше диаграммы зацепления.) 1-ручки обозначаются либо

пара 3-х шариков (место крепления 1-ручки) или, чаще,
незавязанные круги с точками.

Точка указывает на то, что из внутренности 4-шара необходимо вырезать окрестность стандартного 2-диска с границей в виде пунктирного круга. ^[1] Удаление этого 2-дескриптора эквивалентно добавлению 1-дескриптора; 3-ручки и 4-ручки на схеме обычно не обозначаются.

Разложение ручки

Замкнутое гладкое 4-многообразие обычно описывается разложением по ручке .
0-дескриптор — это просто шар, а присоединяемая карта — непересекающееся объединение.
1-ручка прикреплена по двум непересекающимся 3- шарикам .
прикреплена 2-ручка По полноторию ; поскольку этот полноторий вложен в 3-многообразие , существует связь между разложениями ручки на 4-многообразиях и теорией узлов в 3-многообразиях.
Пара ручек с индексом, отличающимся на 1, ядра которых достаточно простым образом связывают друг друга, можно уничтожить без изменения лежащего в основе многообразия. Аналогично может быть создана такая отменяющая пара.

Два различных гладких разложения тела ручки гладкого 4-многообразия связаны конечной последовательностью изотопий присоединяемых отображений и созданием/отменой пар ручек.

См. также

Экзотический $\mathbb {R} ^{4}$

Ссылки

Кирби, Робион (1978). «Расчет для рамочных ссылок в S ³". Математические изобретения . 45 (1): 35–56. : 1978InMat..45 ...35K . doi : 10.1007/BF01406222 . MR 0467753. . S2CID 120770295 Бибкод
Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979). «Об исчислении связей Кирби» . Топология . 18 (1): 1–15. дои : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 . МР 0528232 .
Гомпф, Роберт ; Стипсич, Андраш (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . Том. 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0994-6 . МР 1707327 .

^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2012 г. Проверено 2 января 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2012 г. Проверено 2 января 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1]