Примыкающее пространство

В математике пространство присоединения (или пространство присоединения ) — распространенная конструкция в топологии , где одно топологическое пространство прикрепляется или «приклеивается» к другому. , пусть X и Y — топологические пространства, и пусть A — подпространство Y В частности . Пусть f : A → X — непрерывное отображение (называемое присоединяющим отображением ). Пространство присоединения X ∪ _f Y (иногда также обозначаемое как X + _f Y ) формируется путем несвязного объединения X и Y и отождествления a с f ( a ) для всех a в A . Формально,

$X\cup _{f}Y=(X\sqcup Y)/\sim$

где отношение эквивалентности ~ порождается a ~ f ( a ) для всех a в A , а фактор задан фактор-топологией . Как множество, X ∪ _f Y состоит из непересекающегося объединения X и ( Y − A ). Топология, однако, определяется факторной конструкцией.

Интуитивно можно представить, что Y приклеен к X посредством отображения f .

Примеры

• Типичный пример пространства присоединения дан, когда Y — замкнутый n - шар (или ячейка ), а A — граница шара, ( n −1) -сфера . Индуктивное присоединение ячеек вдоль их сферических границ к этому пространству приводит к примеру комплекса CW .
• используются для определения связных сумм многообразий Пространства присоединения также . Здесь сначала удаляются открытые шары из X и Y , а затем присоединяются границы удаленных шаров по карте прикрепления.
• Если A — пространство с одной точкой, то присоединение представляет сумму X собой и Y. клиновую
• Если X — пространство с одной точкой, то присоединение — это фактор Y / A .

Характеристики

Непрерывные отображения h : X ∪ _f Y → Z находятся в 1-1 соответствии с парами непрерывных отображений h _X : X → Z и h _Y : Y → Z , которые удовлетворяют условиям h _X ( f ( a )) = h _Y ( а для всех a из A. )

В случае, когда A — замкнутое подпространство Y, можно показать, что отображение X → X ∪ _f Y является замкнутым вложением , а ( Y − A ) → X ∪ _f Y — открытым вложением.

Категориальное описание

Прикрепляющая конструкция является примером выталкивания в категории топологических пространств . Другими словами, пространство присоединения универсально относительно следующей коммутативной диаграммы :

Здесь i — карта включения , а Φ _X , Φ _Y — отображения, полученные составлением фактор-карты с каноническими инъекциями в дизъюнктное X и Y. объединение Более общий выталкиватель можно сформировать, заменив i произвольным непрерывным отображением g — конструкция аналогична. И наоборот, если f также является включением, конструкция присоединения состоит в том, чтобы просто склеить X и Y вместе вдоль их общего подпространства.

См. также

• Факторное пространство
• Картографический цилиндр

Ссылки

• Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) Издательство Addison-Wesley, Ридинг, Массачусетс. (Очень краткое введение.)
• «Примыкающее пространство» . ПланетаМатематика .
• Рональд Браун , «Топология и группоиды» доступен в формате pdf (2006), доступен на сайтах Amazon. Обсуждает гомотопический тип пространств присоединения и использует пространства присоединения в качестве введения в (конечные) клеточные комплексы.
• Дж. Х. Уайтхед «Заметка к теореме Борсука», Bull AMS 54 (1948), 1125–1132, является самой ранней известной мне внешней ссылкой, в которой используется термин «пространство присоединения».