Теорема Ликориша – Уоллеса
В математике теорема Ликориша -Уоллеса в теории 3-многообразий утверждает, что любое замкнутое , ориентируемое , связное 3-многообразие может быть получено путем выполнения операции Дена на оснащенном звене в 3-сфере с коэффициентами операции ±1. Более того, каждый компонент связи можно считать развязанным.
Теорема была доказана в начале 1960-х годов У.Б.Р. Ликоришем и Эндрю Х. Уоллесом независимо и разными методами. Доказательство Ликориша основывалось на теореме Ликориша о скручивании , которая утверждает, что любой ориентируемый автоморфизм замкнутой ориентируемой поверхности порождается скручиванием Дена вдоль 3 g - 1 конкретных простых замкнутых кривых на поверхности, где g обозначает род поверхности. Доказательство Уоллеса было более общим и включало добавление ручек на границу шара более высокой размерности.
Следствием теоремы является то, что каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие ограничивает односвязное компактное 4-многообразие .
Используя свою работу по автоморфизмам неориентируемых поверхностей, Ликориш также показал, что каждое замкнутое, неориентируемое, связное 3-многообразие получается хирургией Дена на звене в неориентируемом расслоении 2-сфер над кругом. Как и в случае с ориентируемым случаем, операцию можно провести особым образом, что позволяет прийти к выводу, что каждое замкнутое неориентируемое 3-многообразие ограничивает компактное 4-многообразие.
Ссылки
[ редактировать ]- Ликориш, WBR (1962), «Представление ориентируемых комбинаторных трехмерных многообразий», Ann. математики. , 76 (3): 531–540, номер документа : 10.2307/1970373 , JSTOR 1970373.
- Ликориш, WBR (1963), «Гомеоморфизмы неориентируемых двумерных многообразий», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 59 (2): 307–317, doi : 10.1017/S0305004100036926
- Уоллес, А.Х. (1960), «Модификации и коограничивающие многообразия», кан. Дж. Математика. , 12 : 503–528, doi : 10.4153/cjm-1960-045-7