Растягивающийся поворот

Положительный поворот Дена, примененный к цилиндру, изменяет зеленую кривую, как показано.

В геометрической топологии разделе математики , твист Дена — это определенный тип самогомеоморфизма поверхности , (двумерного многообразия ).

Определение

Предположим, что — простая замкнутая кривая на замкнутой ориентируемой поверхности S. c Пусть A — трубчатая окрестность точки c . Тогда A — кольцо , гомеоморфное декартову произведению окружности и единичного интервала I :

c\subset A\cong S^{1}\times I.

Дайте координаты A ( s , t ), где s — комплексное число вида $e^{i\theta }$ с $\theta \in [0,2\pi ],$ и t ∈ [0, 1] .

Пусть f — отображение S в себя, которое является тождеством вне A и внутри A, мы имеем

f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).

Тогда f — поворот Дена относительно кривой c .

Скручивания Дена также могут быть определены на неориентируемой поверхности S при условии, что мы начинаем с двусторонней простой замкнутой кривой c на S .

Пример

Рассмотрим тор, представленный фундаментальным многоугольником с ребрами a и b.

\mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

Пусть замкнутой кривой будет линия, проходящая вдоль ребра а, называемого $\gamma _{a}$ .

Учитывая выбор склейки гомеоморфизма на рисунке, трубчатая окрестность кривой $\gamma _{a}$ будет выглядеть как лента, связанная вокруг пончика. Эта окрестность гомеоморфна кольцу , скажем

a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}

в комплексной плоскости.

Распространив на тор отображение скручивания $\left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)$ кольца через гомеоморфизмы кольца в открытый цилиндр до окрестности $\gamma _{a}$ , дает поворот Дена тора на .

T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}

Этот самогомеоморфизм действует на замкнутой кривой вдоль b . В трубчатой окрестности он проходит кривую b один раз вдоль кривой a .

Гомеоморфизм топологических пространств индуцирует естественный изоморфизм между их фундаментальными группами . Следовательно, существует автоморфизм

{T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]

где [ x ] — гомотопические классы замкнутой кривой x в торе. Уведомление ${T_{a}}_{\ast }([a])=[a]$ и ${T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]$ , где $b*a$ это путь, пройденный вокруг b, затем a .

Группа классов сопоставления

Это теорема Макса Дена о том, что отображения этого вида порождают группу классов отображений классов изотопических сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов любого замкнутого ориентированного рода - $g$ поверхность. WBR Ликориш позже заново открыл этот результат с помощью более простого доказательства и, кроме того, показал, что Ден поворачивается вдоль $3g-1$ явные кривые порождают группу классов отображения (это называется каламбуром «теорема Ликориша о повороте»); это число позже было улучшено Стивеном П. Хамфрисом до $2g+1$ , для $g>1$ , которое он показал, было минимальным числом.

Ликориш получил аналогичный результат и для неориентируемых поверхностей, которые требуют не только скручиваний Дена, но и « Y-гомеоморфизмов ».

См. также

Ссылки

Эндрю Дж. Кассон , Стивен А. Блейлер, Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону , Cambridge University Press , 1988. ISBN 0-521-34985-0 .
Стивен П. Хамфрис, «Генераторы для группы классов отображения», в: Топология маломерных многообразий ( Proc. Second Sussex Conf. , Chelwood Gate, 1977), стр. 44–47, Конспекты лекций по математике, 722, Шпрингер , Берлин, 1979 г. MR 0547453
WBR Ликориш , «Представление ориентируемых комбинаторных трехмерных многообразий». Энн. математики. (2) 76 1962 531–540. МИСТЕР 0151948
ВБР Ликориш, «Конечный набор образующих гомотопической группы 2-многообразия», Тр. Кембриджская философия. Соц. 60 (1964), 769–778. МИСТЕР 0171269