Теория Серфа

В математике , на стыке теории особенностей и дифференциальной топологии , теория Серфа представляет собой исследование семейств гладких вещественнозначных функций.

$f\colon M\to \mathbb {R}$

на гладком многообразии $M$, их общие особенности и топология подпространств, которые эти особенности определяют как подпространства функционального пространства. Теория названа в честь Жана Серфа , который инициировал ее в конце 1960-х годов.

Пример

Марстон Морс доказал это при условии, что $M$ компактен, любая гладкая функция $f\colon M\to \mathbb {R}$может быть аппроксимирована функцией Морса . Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на $M$ по функциям Морса.

В качестве следующего шага можно было бы спросить: «Если у вас есть однопараметрическое семейство функций, которое начинается и заканчивается функциями Морса, можете ли вы предположить, что все семейство является азбукой Морса?» В общем, ответ — нет. Рассмотрим, например, однопараметрическое семейство функций на $M=\mathbb {R}$ данный

$f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx.$

Вовремя $t=-1$, у него нет критических точек, но во времени $t=1$, это функция Морса с двумя критическими точками в $x=\pm 1$.

Серф показал, что однопараметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством, которое является Морсом во всех случаях, кроме конечного числа вырожденных моментов. Вырождения связаны с переходом критических точек рождение/смерть, как в приведенном выше примере, когда при $t=0$, критическая точка индекса 0 и индекса 1 создается как $t$ увеличивается.

Расслоение пространства бесконечномерного

Возвращаясь к общему случаю, когда $M$ — компактное многообразие, пусть $\operatorname {Morse} (M)$ обозначим пространство функций Морса на $M$, и $\operatorname {Func} (M)$ пространство вещественных гладких функций на $M$. Морс доказал, что $\operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)$ является открытым и плотным подмножеством в $C^{\infty }$ топология.

Для целей интуиции приведем аналогию. открытом слое верхнего измерения в стратификации Думайте о функциях Морса как об $\operatorname {Func} (M)$(мы не утверждаем, что такая стратификация существует, но предположим, что она существует). Обратите внимание, что в стратифицированных пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. В целях обозначения измените соглашения об индексации страт в стратифицированном пространстве и индексируйте открытые страты не по их размерности, а по их коразмерности. Это удобно, поскольку $\operatorname {Func} (M)$ бесконечномерен, если $M$не является конечным множеством. По предположению, открытый слой коразмерности 0 $\operatorname {Func} (M)$ является $\operatorname {Morse} (M)$, то есть: $\operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)$. В стратифицированном пространстве $X$, часто $X^{0}$отключен. Существенное свойство страты коразмерности 1 $X^{1}$ это любой путь в $X$ который начинается и заканчивается в $X^{0}$ можно аппроксимировать путем, пересекающим $X^{1}$ трансверсально в конечном числе точек и не пересекает $X^{i}$ для любого $i>1$.

Таким образом, теория Серфа — это исследование положительных коразмерных слоев $\operatorname {Func} (M)$, то есть: $\operatorname {Func} (M)^{i}$ для $i>0$. В случае

$f_{t}(x)=x^{3}-tx$,

только для $t=0$ является ли функция не Морзе, а

$f_{0}(x)=x^{3}$

имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую переходу рождения/смерти.

Единый временной параметр, формулировка теоремы

Теорема Морса утверждает, что если $f\colon M\to \mathbb {R}$ является функцией Морса, то вблизи критической точки $p$ она сопряжена с функцией $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ формы

$g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}$

где $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\}$.

Однопараметрическая теорема Серфа утверждает существенное свойство страта коразмерности один.

Именно, если $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ представляет собой однопараметрическое семейство гладких функций на $M$ с $t\in [0,1]$, и $f_{0},f_{1}$ Морса, то существует гладкое однопараметрическое семейство $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ такой, что $F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}$, $F$ равномерно близок к $f$ в $C^{k}$-топология на функциях $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$. Более того, $F_{t}$является Морсом вообще, но конечное число раз. В неморсовское время функция имеет только одну вырожденную критическую точку. $p$, и недалеко от этой точки семья $F_{t}$ сопряжен с семьей

$g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}$

где $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$. Если $\epsilon _{1}=-1$ это однопараметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (как $t$ увеличивается), а для $\epsilon _{1}=1$ это однопараметрическое семейство функций, в котором уничтожаются две критические точки.

Происхождение

PL Задача — Шенфлиса для $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ была решена Дж. В. Александром в 1924 году. Его доказательство было адаптировано к гладкому случаю Морсом и Эмилио Байадой . Это существенное свойство было использовано Серфом для доказательства того, что всякий сохраняющий диффеоморфизм ориентацию $S^{3}$ является изотопным по отношению к идентичности, рассматривается как однопараметрическое расширение теоремы Шенфлиса для $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$. Следствие $\Gamma _{4}=0$в то время имело большое значение для дифференциальной топологии. Это существенное свойство позже было использовано Серфом для доказательства теоремы о псевдоизотопии. для многомерных односвязных многообразий. Доказательство представляет собой однопараметрическое расширение доказательства Стивена Смейла теоремы о h-кобордизме (переписывание доказательства Смейла в функциональную структуру было выполнено Морсом, а также Джоном Милнором). и Серф, Андре Грамен и Бернар Морен по предложению Рене Тома ).

Доказательство Серфа основано на работах Тома и Джона Мэзеров . Полезным современным изложением работ Тома и Мэзера того периода является книга Марти Голубицкого и Виктора Гиймена .

Приложения

Помимо вышеупомянутых приложений, Робион Кирби использовал теорию Серфа как ключевой шаг в обосновании исчисления Кирби .

Обобщение

Расслоение дополнения бесконечного подпространства коразмерности пространства гладких отображений $\{f\colon M\to \mathbb {R} \}$ в конечном итоге был разработан Фрэнсисом Сергерартом.

В семидесятых годах проблема классификации псевдоизотопий неодносвязных многообразий была решена Алленом Хэтчером и Джоном Ваггонером. открытие алгебраического $K_{i}$-препятствия на $\pi _{1}M$ ( $i=2$) и $\pi _{2}M$ ( $i=1$) и Киёси Игуса , обнаружившие препятствия аналогичного характера на $\pi _{1}M$ ( $i=3$).