Теория Серфа

В математике , на стыке теории особенностей и дифференциальной топологии , теория Серфа представляет собой исследование семейств гладких вещественнозначных функций.

f\colon M\to \mathbb {R}

на гладком многообразии $M$ , их общие особенности и топология подпространств, которые эти особенности определяют как подпространства функционального пространства. Теория названа в честь Жана Серфа , который инициировал ее в конце 1960-х годов.

Пример [ править ]

Марстон Морс доказал это при условии, что $M$ компактен, любая гладкая функция $f\colon M\to \mathbb {R}$ может быть аппроксимирована функцией Морса . Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на $M$ по функциям Морса.

В качестве следующего шага можно было бы спросить: «Если у вас есть однопараметрическое семейство функций, которое начинается и заканчивается функциями Морса, можете ли вы предположить, что все семейство является азбукой Морса?» В общем, ответ – нет. Рассмотрим, например, однопараметрическое семейство функций на $M=\mathbb {R}$ данный

f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx.

Во время $t=-1$ , у него нет критических точек, но во времени $t=1$ , это функция Морса с двумя критическими точками в $x=\pm 1$ .

Серф показал, что однопараметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством, которое является Морсом во всех случаях, кроме конечного числа вырожденных моментов. Вырождения связаны с переходом критических точек рождение/смерть, как в приведенном выше примере, когда при $t=0$ , критическая точка индекса 0 и индекса 1 создается как $t$ увеличивается.

Расслоение править бесконечномерного [ ] пространства

Возвращаясь к общему случаю, когда $M$ — компактное многообразие, пусть $\operatorname {Morse} (M)$ обозначим пространство функций Морса на $M$ , и $\operatorname {Func} (M)$ пространство вещественных гладких функций на $M$ . Морс доказал, что $\operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)$ является открытым и плотным подмножеством в $C^{\infty }$ топология.

Для целей интуиции приведем аналогию. верхнего измерения в стратификации Думайте о функциях Морса как об открытом слое $\operatorname {Func} (M)$ (мы не утверждаем, что такая стратификация существует, но предположим, что она существует). Обратите внимание, что в стратифицированных пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. В целях обозначения измените соглашения об индексации страт в стратифицированном пространстве и индексируйте открытые страты не по их размерности, а по их коразмерности. Это удобно, поскольку $\operatorname {Func} (M)$ бесконечномерен, если $M$ не является конечным множеством. По предположению, открытый слой коразмерности 0 $\operatorname {Func} (M)$ является $\operatorname {Morse} (M)$ , то есть: $\operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)$ . В стратифицированном пространстве $X$ , часто $X^{0}$ отключен. Существенное свойство страты коразмерности 1 $X^{1}$ это любой путь в $X$ который начинается и заканчивается в $X^{0}$ можно аппроксимировать путем, пересекающим $X^{1}$ трансверсально в конечном числе точек и не пересекает $X^{i}$ для любого $i>1$ .

Таким образом, теория Серфа — это исследование положительных коразмерных слоев $\operatorname {Func} (M)$ , то есть: $\operatorname {Func} (M)^{i}$ для $i>0$ . В случае

f_{t}(x)=x^{3}-tx

,

только для $t=0$ является ли функция не Морзе, и

f_{0}(x)=x^{3}

имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую переходу рождения/смерти.

Единый временной параметр, формулировка теоремы [ править ]

Теорема Морса утверждает, что если $f\colon M\to \mathbb {R}$ является функцией Морса, то вблизи критической точки $p$ она сопряжена с функцией $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ формы

g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

где $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\}$ .

Однопараметрическая теорема Серфа утверждает существенное свойство страта коразмерности один.

Именно, если $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ представляет собой однопараметрическое семейство гладких функций на $M$ с $t\in [0,1]$ , и $f_{0},f_{1}$ Морса, то существует гладкое однопараметрическое семейство $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ такой, что $F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}$ , $F$ равномерно близок к $f$ в $C^{k}$ -топология на функциях $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$ . Более того, $F_{t}$ является Морсом вообще, но конечное число раз. В неморсовское время функция имеет только одну вырожденную критическую точку. $p$ , и недалеко от этой точки семья $F_{t}$ сопряжен с семьей

g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

где $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$ . Если $\epsilon _{1}=-1$ это однопараметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (как $t$ увеличивается), а для $\epsilon _{1}=1$ это однопараметрическое семейство функций, в котором уничтожаются две критические точки.

Происхождение [ править ]

Задача PL — Шенфлиса для $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ была решена Дж. В. Александром в 1924 году. Его доказательство было адаптировано к гладкому случаю Морсом и Эмилио Байадой . ^[1] Это существенное свойство было использовано Серфом для доказательства того, что всякий сохраняющий диффеоморфизм ориентацию $S^{3}$ является изотопным по отношению к идентичности, ^[2] рассматривается как однопараметрическое расширение теоремы Шенфлиса для $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ . Следствие $\Gamma _{4}=0$ в то время имело большое значение для дифференциальной топологии. Это существенное свойство позже было использовано Серфом для доказательства теоремы о псевдоизотопии. ^[3] для многомерных односвязных многообразий. Доказательство представляет собой однопараметрическое расширение Стивена Смейла доказательства теоремы о h-кобордизме (переписывание доказательства Смейла в функциональную структуру было выполнено Морсом, а также Джоном Милнором) . ^[4] и Серф, Андре Грамен и Бернар Морен ^[5] по предложению Рене Тома ).

Доказательство Серфа основано на работах Тома и Джона Мэзеров . ^[6] Полезным современным изложением работ Тома и Мэзера того периода является книга Марти Голубицкого и Виктора Гиймена . ^[7]

Приложения [ править ]

Помимо вышеупомянутых приложений, Робион Кирби использовал теорию Серфа как ключевой шаг в обосновании исчисления Кирби .

Обобщение [ править ]

Расслоение дополнения бесконечного подпространства коразмерности пространства гладких отображений $\{f\colon M\to \mathbb {R} \}$ в конечном итоге был разработан Фрэнсисом Сергерартом. ^[8]

В семидесятых годах проблема классификации псевдоизотопий неодносвязных многообразий была решена Алленом Хэтчером и Джоном Ваггонером. ^[9] открытие алгебраического $K_{i}$ -препятствия на $\pi _{1}M$ ( $i=2$ ) и $\pi _{2}M$ ( $i=1$ ) и Киёси Игуса , обнаружившие препятствия аналогичного характера на $\pi _{1}M$ ( $i=3$ ). ^[10]

Ссылки [ править ]

^ Морс, Марстон ; Байада, Эмилио (1953), «Гомотопия и гомологии, связанные с проблемой Шенфлиса», Annals of Mathematics , 2, 58 : 142–165, doi : 10.2307/1969825 , MR 0056922
^ Серф, Жан (1968), О диффеоморфизмах трехмерной сферы ( $\Gamma _{4}=0$ ) , Конспект лекций по математике, вып. 53, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag
^ Серф, Жан (1970), «Естественная стратификация пространств вещественных дифференцируемых функций и теорема псевдоизотопии», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 39 : 5–173
^ Джон Милнор , Лекции по теореме h-кобордизма, Заметки Лорана К. Зибенмана и Джонатана Сондоу, Princeton Math. Заметки 1965 года
^ Теорема h-кобордизма (Смейл). Заметки Жана Серфа и Андре Грамена ( École Normale Supérieure , 1968).
^ Джон Н. Мэзер , Классификация стабильных ростков по R-алгебрам, Publications Mathématiques de l'IHÉS (1969)
^ Марти Голубицкий , Виктор Гиймен , Стабильные отображения и их особенности. Тексты для выпускников Springer-Verlag по математике 14 (1973)
^ Сергерарт, Фрэнсис (1972). «Теорема о неявных функциях в некоторых пространствах Фреше и некоторые приложения». Научные анналы Высшей нормальной школы . (4). 5 : 599–660.
^ Аллен Хэтчер и Джон Ваггонер, Псевдоизотопии компактных многообразий. Asterisk, № 6. Société Mathématique de France, Париж, 1973. 275 стр.
^ Киёси Игуса, Теорема стабильности для гладких псевдоизотопий. К-Теория 2 (1988), вып. 1-2, ви+355.

[1] Морс, Марстон ; Байада, Эмилио (1953), «Гомотопия и гомологии, связанные с проблемой Шенфлиса», Annals of Mathematics , 2, 58 : 142–165, doi : 10.2307/1969825 , MR 0056922

[2] Серф, Жан (1968), О диффеоморфизмах трехмерной сферы ( $\Gamma _{4}=0$ ) , Конспект лекций по математике, вып. 53, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag

[3] Серф, Жан (1970), «Естественная стратификация пространств вещественных дифференцируемых функций и теорема псевдоизотопии», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 39 : 5–173

[4] Джон Милнор , Лекции по теореме h-кобордизма, Заметки Лорана К. Зибенмана и Джонатана Сондоу, Princeton Math. Заметки 1965 года

[5] Теорема h-кобордизма (Смейл). Заметки Жана Серфа и Андре Грамена ( École Normale Supérieure , 1968).

[6] Джон Н. Мэзер , Классификация стабильных ростков по R-алгебрам, Publications Mathématiques de l'IHÉS (1969)

[7] Марти Голубицкий , Виктор Гиймен , Стабильные отображения и их особенности. Тексты для выпускников Springer-Verlag по математике 14 (1973)

[8] Сергерарт, Фрэнсис (1972). «Теорема о неявных функциях в некоторых пространствах Фреше и некоторые приложения». Научные анналы Высшей нормальной школы . (4). 5 : 599–660.

[9] Аллен Хэтчер и Джон Ваггонер, Псевдоизотопии компактных многообразий. Asterisk, № 6. Société Mathématique de France, Париж, 1973. 275 стр.

[10] Киёси Игуса, Теорема стабильности для гладких псевдоизотопий. К-Теория 2 (1988), вып. 1-2, ви+355.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]