Стратифицированное пространство Тома – Мэзера

В топологии — раздел математики, абстрактное стратифицированное пространство или стратифицированное пространство Тома-Мазера — это топологическое пространство X , которое было разложено на части, называемые стратами ; эти слои представляют собой многообразия и должны соединяться определенным образом. Стратифицированные пространства Тома-Мазера обеспечивают чисто топологическую основу для изучения особенностей, аналогичную более дифференциально-геометрической теории Уитни . Они были введены Рене Томом , который показал, что каждое стратифицированное пространство Уитни также является топологически стратифицированным пространством с теми же стратами. Другое доказательство было дано Джоном Мэзером в 1970 году, вдохновленным доказательством Тома.

Основные примеры стратифицированных пространств Тома – Мэзера включают многообразия с краем (верхнее измерение и граница коразмерности 1) и многообразия с углами (верхнее измерение, граница коразмерности 1, углы коразмерности 2), действительные или комплексные аналитические многообразия или пространства орбит гладких групп преобразований. .

Определение [ править ]

Стратифицированное пространство Тома–Мазера представляет собой тройку $(V,{\mathcal {S}},{\mathfrak {J}})$ где $V$ является топологическим пространством (часто требуется, чтобы оно было локально компактным , хаусдорфовым и вторым счетным ), ${\mathcal {S}}$ представляет собой разложение $V$ в дорогу,

V=\bigsqcup _{X\in {\mathcal {S}}}X,

и ${\mathfrak {J}}$ это набор управляющих данных $\{(T_{X}),(\pi _{X}),(\rho _{X})\ |X\in S\}$ где $T_{X}$ является открытой окрестностью слоя $X$ (называемая трубчатой окрестностью), $\pi _{X}:T_{X}\to X$ представляет собой постоянное сокращение, и $\rho _{X}:T_{X}\to [0,+\infty )$ является непрерывной функцией. Эти данные должны удовлетворять следующим условиям.

Каждый слой $X$ является локально замкнутым подмножеством и разложение $S$ конечен локально .
Разложение $S$ удовлетворяет аксиоме границы: если $X,Y\in {\mathcal {S}}$ и $Y\cap {\overline {X}}\neq \emptyset$ , затем $Y\subseteq {\overline {X}}$ . существует частичный порядок : Это условие подразумевает, что между стратами $Y<X$ тогда и только тогда, когда $Y\subset {\overline {X}}$ и $Y\neq X$ .
Каждый слой $X$ является гладким многообразием.
$X=\{v\in T_{X}\ |\ \rho _{X}(v)=0\}$ . Так $\rho _{X}$ можно рассматривать как функцию расстояния от страты $X$ .
Для каждой пары слоев $Y<X$ , ограничение $(\pi _{Y},\rho _{Y}):T_{Y}\cap X\to Y\times (0,+\infty )$ это погружение .
Для каждой пары слоев $Y<X$ , там держится $\pi _{Y}\circ \pi _{X}=\pi _{Y}$ и $\rho _{Y}\circ \pi _{X}=\rho _{Y}$ (обе в общей области обеих частей уравнения).

Примеры [ править ]

Одной из первоначальных причин создания стратифицированных пространств было разложение сингулярных пространств на гладкие фрагменты. Например, дано единственное многообразие $X$ , существует естественно определенное подмногообразие, $\mathrm {Sing} (X)$ , что является единственным локусом. Возможно, это не гладкое многообразие, поэтому возьмем итерированное множество сингулярностей $\mathrm {Sing} (\mathrm {Sing} (X))$ со временем даст естественное расслоение. ^{[ нужна ссылка ]} Простой алгебро-геометрический пример — сингулярная гиперповерхность.