Условия Уитни

В дифференциальной топологии , разделе математики , условия Уитни — это условия на пару подмногообразий многообразия , введенные Хасслером Уитни в 1965 году.

Стратификация — это топологического пространства конечная фильтрация замкнутыми подмножествами F _i , такая, что разность между последовательными членами F _i и F _{( i − 1)} фильтрации либо пуста, либо является гладким подмногообразием размерности i . Компоненты связности разности F _i − F _{( i − 1)} являются стратами размерности i . Стратификация называется стратификацией Уитни, если все пары страт удовлетворяют условиям Уитни A и B, как определено ниже.

Условия Уитни в R ^н[ редактировать ]

Пусть X и Y — два непересекающихся ( локально замкнутых ) подмногообразия в R ^н, размерностей i и j .

X и Y удовлетворяют условию Уитни A, если всякий раз, когда последовательность точек x ₁ , x ₂ , … в X сходится к точке y в Y , а последовательность касательных i -плоскостей T _m к X в точках x _m сходится к i -плоскость T, поскольку m стремится к бесконечности, тогда T содержит касательную j -плоскость к Y в точке y .
X и Y удовлетворяют условию Уитни B, если для каждой последовательности x ₁ , x ₂ , … точек из X и каждой последовательности y ₁ , y ₂ , … точек из Y , сходящейся к одной и той же точке y из Y , такой, что последовательность секущих линий между _Lm xm и _в ym сходится _, к прямой L, m стремится последовательность касательных i -плоскостей Tm _{к бесконечности, а} к X точках xm _когда сходится к i -плоскости T когда m стремится до бесконечности, то L содержится в T .

Джон Мэзер впервые указал на то, что состояние В Уитни подразумевает состояние А Уитни, в конспектах его лекций в Гарварде в 1970 году, которые получили широкое распространение. Он также определил понятие стратифицированного пространства Тома-Мазера и доказал, что каждая стратификация Уитни является стратифицированным пространством Тома-Мазера и, следовательно, является топологически стратифицированным пространством . Другой подход к этому фундаментальному результату был предложен ранее Рене Томом в 1969 году.

Дэвид Тротман в своей диссертации Уорвика 1977 года показал, что стратификация замкнутого подмножества в гладком многообразии M удовлетворяет условию Уитни A тогда и только тогда, когда подпространство пространства гладких отображений гладкого многообразия N в M состоит из всех тех отображений, которые поперечная всем слоям стратификации, открыта (с использованием топологии Уитни, или сильной топологии). Подпространство отображений, трансверсальных любому счетному семейству подмногообразий M, всегда плотно по теореме Тома о трансверсальности . Плотность множества трансверсальных отображений часто интерпретируется, говоря, что трансверсальность является «общим» свойством для гладких отображений, тогда как открытость часто интерпретируется, говоря, что это свойство «стабильно».

Причина, по которой условия Уитни стали так широко использоваться, заключается в теореме Уитни 1965 года, согласно которой каждое алгебраическое многообразие, или даже аналитическое многообразие, допускает стратификацию Уитни, т.е. допускает разбиение на гладкие подмногообразия, удовлетворяющие условиям Уитни. Более общие сингулярные пространства могут быть заданы стратификациями Уитни, такими как полуалгебраические множества (благодаря Рене Тому ) и субаналитические множества (благодаря Хейсуке Хиронаке ). Это привело к их использованию в технике, теории управления и робототехнике. В диссертации под руководством Вислава Павлуцкого в Ягеллонском университете в Кракове, Польша, вьетнамский математик Та Ле Лой доказал далее, что каждому определяемому множеству в o-минимальной структуре можно дать стратификацию Уитни. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Мазер, Джон «Заметки о топологической устойчивости» , Гарвард, 1970 г. ( доступно на его веб-странице в Принстонском университете ).
Том, Рене Множества и стратифицированные морфизмы , Бюллетень Американского математического общества, том. 75, с. 240–284), 1969.
Тротман, Дэвид Устойчивость трансверсальности к стратификации подразумевает (а)-регулярность Уитни, Inventiones Mathematicae 50 (3), стр. 273–277, 1979.
Тротман, Дэвид Сравнение условий регулярности стратификаций, Особенности, Часть 2 (Арката, Калифорния, 1981), том 40 Proc. Симпозиумы. Чистая математика, стр. 575–586. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1983.
Уитни, Хасслер. Локальные свойства аналитических многообразий. Дифференциальная и комбинаторная топология (Симпозиум в честь Марстона Морса ), стр. 205–244 Princeton Univ. Пресс, Принстон, Нью-Джерси, 1965.
Уитни, Хасслер , Касательные к аналитическому многообразию, Анналы математики 81, вып. 3 (1965), стр. 496–549.