O-минимальная теория

В математической логике и, более конкретно, в теории моделей , бесконечная структура ( M ,<,...), которая полностью упорядочена по <, называется o-минимальной структурой тогда и только тогда, когда каждое определимое подмножество X ⊆ M (с параметрами, взятыми из M ) является конечным объединением интервалов и точек .

O-минимальность можно рассматривать как слабую форму исключения кванторов . Структура M является o-минимальной тогда и только тогда, когда каждая формула с одной свободной переменной и параметрами из M эквивалентна формуле без кванторов, включающей только упорядочение, также с параметрами из M . Это аналогично минимальным структурам, которые обладают в точности аналогичным свойством вплоть до равенства.

Теория если T является -минимальной теорией, каждая модель T o o-минимальна. Известно, что полная теория T o-минимальной структуры является o-минимальной теорией. Этот результат примечателен тем, что, напротив, полная теория минимальной структуры не обязательно должна быть сильно минимальной теорией , то есть может существовать элементарно эквивалентная структура, которая не является минимальной.

Теоретико-множественное определение

O-минимальные структуры можно определить, не обращаясь к теории моделей. Здесь мы определяем структуру на непустом множестве M теоретико-множественным способом как последовательность S = ( Sn ₎ , n = 0,1,2,... такую, что

1. Sn _— алгебра булева подмножеств M ^н
2. если D ∈ Sn _, то M × D и D × M находятся Sn _{+1 в}
3. множество {( x ₁ ,..., x _n ) ∈ M ^н : x ₁ = x _n } находится в S _n
4. если D ∈ Sn _{​ +1} и π : M ^{п +1} → М ^н — карта проекции на первые n координат, тогда π ( D ) ∈ S _n .

Для подмножества A из M мы рассматриваем наименьшую структуру S ( A ), содержащую , такую, что каждое конечное подмножество A содержится в S1 _S . Подмножество D из M ^н называется A если оно содержится в Sn _{-определимым ,} ( A ); в этом случае A называется набором параметров для D . Подмножество называется определимым, если оно - определимо для некоторого A. A

Если M имеет плотный линейный порядок без концов на нем, скажем <, то структура S на M называется o-минимальной (относительно <), если она удовлетворяет дополнительным аксиомам

6. множество < (={( x , y ) ∈ M ² : x < y }) находится в S ₂
7. определимые подмножества M представляют собой в точности конечные объединения интервалов и точек.

«О» означает «порядок», поскольку любая o-минимальная структура требует упорядочения базового набора.

Теоретическое определение модели

O-минимальные структуры возникли в теории моделей и поэтому имеют более простое, но эквивалентное определение на языке теории моделей. В частности, если L — язык, включающий бинарное отношение <, и ( M , <,...) — L -структура, где < интерпретируется как удовлетворяющее аксиомам плотного линейного порядка, то ( M ,<,...) называется o-минимальной структурой, если для любого определимого множества X ⊆ M существует конечное число открытых интервалов I ₁ ,..., I _r в M ∪ {±∞} и конечное число установите X ₀ так, что

$X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.$

Примеры

Примеры o-минимальных теорий:

• Полная теория плотных линейных порядков на языке только с упорядочением.
• РКФ, теория реальных замкнутых полей .
• Полная теория действительного поля с добавлением ограниченных аналитических функций (т.е. аналитических функций в окрестности [0,1] ^н , ограничено [0,1] ^н ; обратите внимание, что неограниченная синусоидальная функция имеет бесконечно много корней и поэтому не может быть определена в o-минимальной структуре.)
• Полная теория действительного поля с символом показательной функции по теореме Уилки . В более общем смысле, добавлена ​​полная теория действительных чисел с функциями Пфаффа .
• Последние два примера можно объединить: учитывая любое o-минимальное расширение реального поля (например, вещественное поле с ограниченными аналитическими функциями), можно определить его пфаффово замыкание, которое снова является o-минимальной структурой. (Пфаффово замыкание структуры, в частности, замкнуто относительно цепей Пфаффа, где вместо многочленов используются произвольные определимые функции.)

В случае RCF определяемыми множествами являются полуалгебраические множества . Таким образом, изучение o-минимальных структур и теорий обобщает реальную алгебраическую геометрию . Основное направление текущих исследований основано на открытии o-минимальных расширений реального упорядоченного поля. Несмотря на общность применения, можно многое узнать о геометрии множеств, определяемых в o-минимальных структурах. Существует теорема о клеточном разложении, Уитни и Вердье Теоремы стратификации и хорошее представление о размерности и эйлеровой характеристике.

Более того, непрерывно дифференцируемые определимые функции в o-минимальной структуре удовлетворяют обобщению неравенства Лоясевича , свойство, которое использовалось для гарантии сходимости некоторых негладких методов оптимизации, таких как метод стохастического субградиента (при некоторых мягких предположениях).

См. также

• Полуалгебраическое множество
• Настоящая алгебраическая геометрия
• Сильно минимальная теория
• Слабо o-минимальная структура
• C-минимальная теория
• Ручная топология

Ссылки

• ван ден Дрис, Лу (1998). Ручная топология и o-минимальные структуры . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 248. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-59838-5 . Збл   0953.03045 .
• Маркер, Дэвид (2000). «Обзор «Прирученной топологии и o-минимальных структур» » (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 37 (3): 351–357. дои : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 217. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-98760-6 . Збл   1003.03034 .
• Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах I» (PDF) . Труды Американского математического общества . 295 (2): 565–592. дои : 10.2307/2000052 . JSTOR   2000052 . Збл   0662.03023 .
• Найт, Джулия ; Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах II» . Труды Американского математического общества . 295 (2): 593–605. дои : 10.2307/2000053 . JSTOR   2000053 . Збл   0662.03024 .
• Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1988). «Определимые множества в упорядоченных структурах III» . Труды Американского математического общества . 309 (2): 469–476. дои : 10.2307/2000920 . JSTOR   2000920 . Збл   0707.03024 .
• Уилки, Эй Джей (1996). «Результаты полноты модели для разложения упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных функций Пфаффа и показательной функции» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 9 (4): 1051–1095. дои : 10.1090/S0894-0347-96-00216-0 .
• Денеф, Дж.; ван ден Дрис, Л. (1989). « p -адические и вещественные субаналитические множества». Анналы математики . 128 (1): 79–138. дои : 10.2307/1971463 . JSTOR   1971463 .

Внешние ссылки

• Сервер препринтов теории моделей
• Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии