Сильно минимальная теория
В теории моделей — разделе математической логики — минимальная структура — это бесконечная односортная структура , в которой каждое подмножество ее области определения, определяемое с помощью параметров , является либо конечным, либо коконечным . Сильно минимальная теория — это полная теория, все модели которой минимальны. Сильно минимальная структура — это структура, теория которой сильно минимальна.
Таким образом, структура является минимальной только в том случае, если нельзя избежать параметрически определяемых подмножеств ее области определения, поскольку они уже параметрически определимы на чистом языке равенства.Сильная минимальность была одним из первых понятий в новой области теории классификации и теории устойчивости , открытой теоремой Морли о полностью категоричных структурах.
Нетривиальными стандартными примерами сильно минимальных теорий являются односортные теории бесконечномерных векторных пространств теории ACF p алгебраически замкнутых полей характеристики p и . Как показывает пример ACF p , параметрически определяемые подмножества площади области минимальной структуры могут быть относительно сложными (« кривыми »).
В более общем смысле, подмножество структуры, которое определяется как множество реализаций формулы φ ( x ), называется минимальным набором , если каждое его параметрически определяемое подмножество либо конечно, либо коконечно. Оно называется сильно минимальным множеством, если это верно даже для всех элементарных расширений .
Сильно минимальное множество, оснащенное оператором замыкания, заданным алгебраическим замыканием в теоретико-модельном смысле, представляет собой бесконечный матроид или предгеометрию . Модель сильно минимальной теории определяется с точностью до изоморфизма ее размерностью как матроида. Полностью категоричные теории контролируются строго минимальным набором; этот факт объясняет (и используется при доказательстве) теорему Морли. Борис Зильбер предположил, что единственные предгеометрии, которые могут возникнуть из сильно минимальных множеств, - это те, которые возникают в векторных пространствах, проективных пространствах или алгебраически замкнутых полях. Эта гипотеза была опровергнута Эхудом Грушовски , который разработал метод, известный как «конструкция Грушовского», для построения новых сильно минимальных структур из конечных структур.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Болдуин, Джон Т.; Лахлан, Алистер Х. (1971), «О строго минимальных множествах», Журнал символической логики , 36 (1), Журнал символической логики, Vol. 36, № 1: 79–96, номер документа : 10.2307/2271517 , JSTOR 2271517.
- Грушовский, Эхуд (1993), «Новый строго минимальный набор», Анналы чистой и прикладной логики , 62 (2): 147, doi : 10.1016/0168-0072(93)90171-9
