Предгеометрия (теория моделей)

Чтобы узнать о предгеометрии в физике, см. «Прегеометрия (физика)» .

Предгеометрия и полная комбинаторная предгеометрия по сути являются синонимами слова « матроид ». Они были введены Джан-Карло Ротой с намерением предоставить менее «невыразимо какофонический» альтернативный термин. Кроме того, термин «комбинаторная геометрия» , иногда сокращенно « геометрия» , был предназначен для замены «простого матроида». Эти термины сейчас нечасто используются при изучении матроидов.

Оказывается, многие фундаментальные понятия линейной алгебры – замыкание, независимость, подпространство, базис, размерность – доступны в общих рамках предгеометрий.

В разделе математической логики , называемом теорией моделей , бесконечные финитарные матроиды, называемые там «предгеометриями» (и «геометриями», если они являются простыми матроидами), используются при обсуждении явлений независимости. Исследование того, как предгеометрии, геометрии и абстрактные операторы замыкания влияют на структуру моделей первого порядка, называется геометрической теорией устойчивости .

Мотивация

Если $V$ является векторным пространством над некоторым полем и $A\subseteq V$, мы определяем ${\text{cl}}(A)$ быть множеством всех линейных комбинаций векторов из $A$, также известный промежуток как $A$. Тогда у нас есть $A\subseteq {\text{cl}}(A)$ и ${\text{cl}}({\text{cl}}(A))={\text{cl}}(A)$ и $A\subseteq B\Rightarrow {\text{cl}}(A)\subseteq {\text{cl}}(B)$. эквивалентна Лемма Стейница об обмене утверждению: если $b\in {\text{cl}}(A\cup \{c\})\smallsetminus {\text{cl}}(A)$, затем $c\in {\text{cl}}(A\cup \{b\}).$

Понятия линейной алгебры независимого множества, порождающего набора, базиса и размерности можно выразить с помощью ${\text{cl}}$-оператор один. Предгеометрия — это абстракция этой ситуации: мы начинаем с произвольного набора $S$ и произвольный оператор ${\text{cl}}$ который присваивает каждому подмножеству $A$ из $S$ подмножество ${\text{cl}}(A)$ из $S$, удовлетворяющий указанным выше свойствам. Тогда мы сможем определить понятия «линейной алгебры» также в этой более общей ситуации.

Это обобщенное понятие размерности очень полезно в теории моделей, где в определенной ситуации можно утверждать следующее: две модели с одинаковой мощностью должны иметь одинаковую размерность, а две модели с одинаковой размерностью должны быть изоморфными.

Определения

Предгеометрии и геометрии

Комбинаторная предгеометрия (также известная как финитный матроид ) — это пара $(S,{\text{cl}})$, где $S$ представляет собой набор и ${\text{cl}}:{\mathcal {P}}(S)\to {\mathcal {P}}(S)$ (называемое картой замыкания ) удовлетворяет следующим аксиомам. Для всех $a,b,c\in S$ и $A,B\subseteq S$:

1. ${\text{cl}}:({\mathcal {P}}(S),\subseteq )\to ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$ монотонно возрастает и доминирует ${\text{id}}$ ( т.е. $A\subseteq B$ подразумевает $A\subseteq {\text{cl}}(A)\subseteq {\text{cl}}(B)$) и является идемпотентным ( т.е. ${\text{cl}}({\text{cl}}(A))={\text{cl}}(A)$)
2. Конечный персонаж : для каждого $a\in {\text{cl}}(A)$ есть некоторый конечный результат $F\subseteq A$ с $a\in {\text{cl}}(F)$.
3. Принцип обмена : Если $b\in {\text{cl}}(A\cup \{c\})\smallsetminus {\text{cl}}(A)$, затем $c\in {\text{cl}}(A\cup \{b\})$ (а значит, в силу монотонности и идемпотентности фактически $c\in {\text{cl}}(A\cup \{b\})\smallsetminus {\text{cl}}(A)$).

Наборы формы ${\text{cl}}(A)$ для некоторых $A\subseteq S$ называются закрытыми . Тогда ясно, что конечные пересечения замкнутых множеств замкнуты и что ${\text{cl}}(A)$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$.

Геометрия — это предгеометрия , в которой замыкание одиночных элементов является одиночным, а замыкание пустого множества — пустым множеством.

Независимость, основы и размерность

Данные наборы $A,D\subseteq S$, $A$ независим от $D$ если $a\notin {\text{cl}}((A\setminus \{a\})\cup D)$ для любого $a\in A$. Мы говорим, что $A$ независимо , если оно независимо над пустым множеством.

Набор $B\subseteq A$ является основой для $A$ над $D$ если он независим от $D$ и $A\subseteq {\text{cl}}(B\cup D)$.

Базис — это то же самое, что максимальное независимое подмножество, и с помощью леммы Цорна можно показать, что каждое множество имеет базис. Поскольку предгеометрия удовлетворяет свойству обмена Стейница, все базы имеют одинаковую мощность, следовательно, мы можем размерность определить $A$ над $D$, записанный как ${\text{dim}}_{D}A$, как мощность любого базиса $A$ над $D$. И снова размерность ${\text{dim}}A$ из $A$ определяется как размерность пустого множества.

Наборы $A,B$ независимы ​ над $D$ если ${\text{dim}}_{B\cup D}A'=\dim _{D}A'$ в любое время $A'$ является конечным подмножеством $A$. Заметим, что это соотношение симметрично.

и

Автоморфизм ​ предгеометрии $(S,{\text{cl}})$ является биекцией $\sigma :S\to S$ такой, что $\sigma ({\text{cl}}(X))={\text{cl}}(\sigma (X))$ для любого $X\subseteq S$.

Предгеометрия $S$ называется однородным, если для любого замкнутого $X\subseteq S$ и любые два элемента $a,b\in S\setminus X$ существует автоморфизм $S$ какие карты $a$ к $b$ и исправления $X$ точечно.

Сопутствующая геометрия и локализации

Учитывая предгеометрию $(S,{\text{cl}})$ связанная с ней геометрия (иногда называемая в литературе канонической геометрией ) — это геометрия $(S',{\text{cl}}')$ где

1. $S'=\{{\text{cl}}(a)\mid a\in S\setminus {\text{cl}}(\varnothing )\}$, и
2. Для любого $X\subseteq S$, ${\text{cl}}'(\{{\text{cl}}(a)\mid a\in X\})=\{{\text{cl}}(b)\mid b\in {\text{cl}}(X)\}$

Легко видеть, что соответствующая геометрия однородной предгеометрии является однородной.

Данный $A\subseteq S$ локализация ​ ​ $S$ это предгеометрия $(S,{\text{cl}}_{A})$ где ${\text{cl}}_{A}(X)={\text{cl}}(X\cup A)$.

Типы предгеометрий

Предгеометрия $(S,{\text{cl}})$ говорят, что это:

• тривиально (или вырождено ), если ${\text{cl}}(X)=\bigcup \{{\text{cl}}(a)\mid a\in X\}$ для всех непустых $X\subseteq S$.
• модульный, если любые два замкнутых конечномерных множества $X,Y\subseteq S$ удовлетворить уравнение ${\text{dim}}(X\cup Y)={\text{dim}}(X)+{\text{dim}}(Y)-{\text{dim}}(X\cap Y)$ (или, что то же самое, что $X$ не зависит от $Y$ над $X\cap Y$).
• локально модульный, если он имеет модульную локализацию синглтона.
• (локально) проективно , если оно нетривиально и (локально) модулярно.
• локально конечен , если замыкания конечных множеств конечны.

Тривиальность, модульность и локальная модулярность переходят в ассоциированную геометрию и сохраняются при локализации.

Если $S$ является локально модулярной однородной предгеометрией и $a\in S\setminus {\text{cl}}(\varnothing )$ тогда локализация $S$ в $b$ является модульным.

Геометрия $S$ является модульным тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $a,b\in S$, $A\subseteq S$, ${\text{dim}}\{a,b\}=2$ и ${\text{dim}}_{A}\{a,b\}\leq 1$ затем $({\text{cl}}\{a,b\}\cap {\text{cl}}(A))\setminus {\text{cl}}(\varnothing )\neq \varnothing$.

Примеры

Тривиальный пример

Если $S$ это любой набор, который мы можем определить ${\text{cl}}(A)=A$ для всех $A\subseteq S$. Эта предгеометрия представляет собой тривиальную, однородную, локально конечную геометрию.

пространства и

Позволять $F$ быть полем (на самом деле достаточно тела) и пусть $V$ быть векторным пространством над $F$. Затем $V$ является предгеометрией, в которой замыкания множеств определяются как их пролет . Замкнутые множества — это линейные подпространства $V$ а понятие размерности из линейной алгебры совпадает с догеометрической размерностью.

Эта предгеометрия однородна и модульна. Векторные пространства считаются типичным примером модульности.

$V$ локально конечно тогда и только тогда, когда $F$ конечно.

$V$ не является геометрией, поскольку замыкание любого нетривиального вектора представляет собой подпространство размера не менее $2$.

Соответствующая геометрия $\kappa$-мерное векторное пространство над $F$ это $(\kappa -1)$-мерное проективное пространство над $F$. Легко видеть, что эта предгеометрия является проективной геометрией.

Аффинные пространства

Позволять $V$ быть $\kappa$-мерное аффинное пространство над полем $F$. Для данного набора определите его замыкание как его аффинную оболочку (т.е. наименьшее аффинное подпространство, содержащее его).

Это образует однородную $(\kappa +1)$-мерная геометрия.

Аффинное пространство не является модулярным (например, если $X$ и $Y$ являются параллельными линиями, то формула определения модульности не работает). Однако легко проверить, что все локализации модульные.

полей и

Позволять $L/K$ быть расширением поля . Набор $L$ становится предгеометрией, если мы определим ${\text{cl}}(A)=\{x\in L:x{\text{ is algebraic over }}K(A)\}$для $A\subseteq L$. Набор $A$ независима в этой предгеометрии тогда и только тогда, когда она алгебраически независима над $K$. Размерность $A$ совпадает со степенью трансцендентности ${\text{trdeg}}(K(A)/K)$.

В теории моделей случай $L$ будучи алгебраически замкнутым и $K$ его основное поле особенно важно.

В то время как векторные пространства являются модулярными, а аффинные пространства «почти» модулярными (т.е. всюду локально модульными), алгебраически замкнутые поля являются примерами другой крайности, не будучи даже локально модульными (т.е. ни одна из локализаций не является модулярной).

Сильно минимальные множества в теории моделей

первого порядка Учитывая счетный язык L и L- структуру M, любое определимое подмножество D в M , которое является сильно минимальным, порождает предгеометрию на множестве D . Оператор замыкания здесь задается алгебраическим замыканием в теоретико-модельном смысле.

Модель сильно минимальной теории определяется с точностью до изоморфизма ее размерностью как предгеометрией; этот факт используется при доказательстве теоремы о категоричности Морли .

В минимальных множествах над стабильными теориями отношение независимости совпадает с понятием разветвляющейся независимости.

Ссылки

• Х.Х. Крапо и Г.-К. Рота (1970), Об основах комбинаторной теории: комбинаторные геометрии . MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
• Пиллэй, Ананд (1996), Геометрическая теория устойчивости . Оксфордские руководства по логике. Издательство Оксфордского университета.
• Казановас, Энрике (11 ноября 2008 г.). «Предгеометрии и минимальные типы» (PDF) .