C-минимальная теория

В теории моделей , разделе математической логики , C-минимальная теория — это теория, которая является «минимальной» по отношению к троичному отношению C с определенными свойствами. Алгебраически замкнутые поля со оценкой (Крулля) являются, пожалуй, самым важным примером.

Это понятие было определено по аналогии с о-минимальными теориями , которые «минимальны» (в том же смысле) по отношению к линейному порядку.

Определение

C ; это троичное отношение C ( x -отношение — y , z ), которое удовлетворяет следующим аксиомам.

1. $\forall xyz\,[C(x;y,z)\rightarrow C(x;z,y)],$
2. $\forall xyz\,[C(x;y,z)\rightarrow \neg C(y;x,z)],$
3. $\forall xyzw\,[C(x;y,z)\rightarrow (C(w;y,z)\vee C(x;w,z))],$
4. $\forall xy\,[x\neq y\rightarrow \exists z\neq y\,C(x;y,z)].$

C -минимальная структура — это структура M , в сигнатуре которой содержится символ C , такая, что C удовлетворяет вышеуказанным аксиомам, и каждый набор элементов M , который можно определить с параметрами в M, является булевой комбинацией экземпляров C , т.е. формулы вида C ( x ; b , c ) где b и c — элементы M. ,

Теория называется C-минимальной, если все ее модели C-минимальны. Структура называется сильно C-минимальной, если ее теория C-минимальна. Можно построить C-минимальные структуры, которые не являются строго C-минимальными.

Пример

Для простого числа p и p -адического числа a пусть | а | _p обозначает его p -адическое абсолютное значение. Тогда отношение, определяемое формулой $C(a;b,c)\iff |b-c|_{p}<|a-c|_{p}$ является C -отношением, а теория Q _p со сложением и этим отношением C-минимальна. теория Qp _Однако как поля не является C-минимальной.

Ссылки

• Макферсон, Дугалд ; Стейнхорн, Чарльз (1996), «О вариантах o-минимальности», Annals of Pure and Applied Logic , 79 (2): 165–209, doi : 10.1016/0168-0072(95)00037-2
• Хаскелл, Дейдра; Макферсон, Дугалд (1994), «Клеточное разложение C-минимальных структур», Annals of Pure and Applied Logic , 66 (2): 113–162, doi : 10.1016/0168-0072(94)90064-7