Тернарное отношение

В математике троичное отношение или триадное отношение — это финитное отношение , в котором количество мест в отношении равно трем. Троичные отношения также могут называться 3-адическими , 3-арными , 3-мерными или 3-местными .

Подобно тому, как бинарное отношение формально определяется как набор пар , т.е. подмножество декартова произведения A × B некоторых множеств A и B , так и троичное отношение — это набор троек, образующих подмножество декартова произведения A × B. B × C трех множеств A , B и C. из

Пример троичного отношения в элементарной геометрии можно привести на тройках точек, где тройка находится в отношении, если три точки лежат на одной прямой . Другой геометрический пример можно получить, рассмотрев тройки, состоящие из двух точек и прямой, где тройка находится в троичном отношении, если две точки определяют ( инцидентны линию ей).

Примеры

Бинарные функции

Функция f : A × B → C от двух переменных, отображающая два значения из множеств A и B соответственно в значение в C, сопоставляет каждой паре ( a , b ) в A × B элемент f ( a , b ) в С. Следовательно, его график состоит из пар вида (( a , b ), f ( a , b )) . Такие пары, в которых первый элемент сам является парой, часто отождествляют с тройками. Это делает график f троичным отношением между A , B и C , состоящим из всех троек ( a , b , f ( a , b )) и удовлетворяющим a в A , b в B и f ( a , b ) в С.

Циклические заказы

Учитывая любое множество A, элементы которого расположены по кругу, можно определить троичное отношение R на A , то есть подмножество A ³ = A × A × A , оговорив, что R ( a , b , c ) выполняется тогда и только тогда, когда элементы a , b и c попарно различны и при переходе от a к c по часовой стрелке каждый проходит через b . Например, если A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} представляет часы на циферблате , то R (8, 12, 4) выполняется и R (12, 8, 4) не выполняется.

Отношения посредничества

Тернарное отношение эквивалентности

Отношение конгруэнтности

Обычное сравнение арифметики

a\equiv b{\pmod {m}}

которое справедливо для трех целых чисел a , b и m тогда и только тогда, когда m делит a - b , формально можно рассматривать как троичное отношение. Однако обычно это рассматривается как семейство бинарных отношений между a и b , индексированных модулем m . Действительно, для каждого фиксированного m это бинарное отношение имеет некоторые естественные свойства, например, отношение эквивалентности ; тогда как объединенное троичное отношение вообще не изучается как одно отношение.

Отношение типизации

Отношение типизации Γ ⊢ e : σ указывает, что e является термином типа σ в контексте Γ и, таким образом, является тройным отношением между контекстами, терминами и типами.

Шредер рулит

Учитывая отношения A , B и C на множестве, тернарное отношение ( A , B , C ) можно определить с помощью композиции отношений AB и включения AB ⊆ C. однородные В исчислении отношений каждое отношение A имеет обратное отношение A ^Т и отношение дополнения A . Используя эти инволюции , Огастес Де Морган и Эрнст Шредер показали, что ( A , B , C ) эквивалентно ( C , B ^Т, A ), а также эквивалентно ( A ^Т, С , Б ) . Взаимные эквивалентности этих форм, построенные из тернарного отношения ( A , B , C ), называются правилами Шрёдера . ^[1]

Ссылки

^ Шмидт, Гюнтер ; Стрёлейн, Томас (1993), Отношения и графики , книги Springer , стр. 15–19.

Дальнейшее чтение

Майерс, Дейл (1997), «Интерпретирующий изоморфизм между бинарными и тройными отношениями», Мисельски, Январь; Розенберг, Гжегож; Саломаа, Арто (ред.), Структуры в логике и информатике , Конспекты лекций по информатике, том. 1261, Springer, стр. 84–105, номер документа : 10.1007/3-540-63246-8_6 , ISBN. 3-540-63246-8
Новак, Витезслав (1996), «Трнарные структуры и частичные полугруппы», Чехословацкий математический журнал , 46 (1): 111–120, hdl : 10338.dmlcz/127275
Новак, Витезслав; Новотны, Мирослав (1989), «Транзитивные тернарные отношения и квазиупорядочения», Archivum Mathematicum , 25 (1–2): 5–12, hdl : 10338.dmlcz/107333
Новак, Витезслав; Новотны, Мирослав (1992), «Двоичные и тройные отношения», Mathematica Bohemica , 117 (3): 283–292, hdl : 10338.dmlcz/126278
Новотны, Мирослав (1991), «Трнарные структуры и группоиды», Чехословацкий математический журнал , 41 (1): 90–98, hdl : 10338.dmlcz/102437
Шлапал, Йозеф (1993), «Отношения и топологии», Чехословацкий математический журнал , 43 (1): 141–150, hdl : 10338.dmlcz/128381

[1] Шмидт, Гюнтер ; Стрёлейн, Томас (1993), Отношения и графики , книги Springer , стр. 15–19.

[1]