Бабушкин узелок (математика)

Бабушкин узел
Общее имя	Бабушкин узел
Пересечение нет.	6
Палка нет.	8
Обозначение A – B	$3_{1}\#3_{1}$
Другой
чередующиеся , составные , трехцветные

3D изображение

В теории узлов « бабушкин узел» — это составной узел, полученный путем соединения двух одинаковых узлов-трилистников . Он тесно связан с квадратным узлом , который также можно описать как связную сумму двух трилистников. Поскольку узел «трилистник» — самый простой нетривиальный узел, узел «бабушка» и квадратный узел — самые простые из всех составных узлов.

«Бабушкин узел» — это математическая версия обычного «бабушкиного узла» .

Строительство

Бабушкин узел может быть составлен из двух одинаковых узлов-трилистников, которые должны быть либо левыми, либо правыми. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Полученная связная сумма и есть «бабушкин узел».

Важно, чтобы оригинальные узлы-трилистники были идентичны друг другу. Если вместо этого использовать узлы-трилистники с зеркальным отображением, в результате получится квадратный узел.

Характеристики

Число пересечений бабушкиного узла равно шести, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла. В отличие от квадратного узла, «бабушкин» узел не является ленточным или ломтиковым узлом .

Полином Александера бабушкиного узла равен

$\Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},$

что представляет собой просто квадрат полинома Александера узла-трилистника. Аналогично, полином Конвея бабушкиного узла равен

$\nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.$

Эти два полинома такие же, как и для квадратного узла. Однако полином Джонса для (правого) бабушкиного узла равен

$V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.$

Это квадрат полинома Джонса для правого узла-трилистника, который отличается от полинома Джонса для квадратного узла.

Группа узлов бабушкиного узла приведена в презентации.

$\langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle .$

Это изоморфно группе узлов квадратного узла и является простейшим примером двух разных узлов с изоморфными группами узлов.