Jump to content

Трехцветность

(Перенаправлено с Трехцветного узла )
Трехцветный узел-трилистник .

В математической области теории узлов трехцветность это узла способность узла окрашиваться в три цвета при соблюдении определенных правил. Трехцветность является изотопическим инвариантом и, следовательно, может использоваться для различения двух разных (неизотопных ) узлов. В частности, поскольку узел не трехцветный, любой трехцветный узел обязательно нетривиален.

Правила триколора

[ редактировать ]

В этих правилах нитью на диаграмме узла будет часть веревки, идущая от одного нижнего пересечения к другому. [1] Узел является трехцветным, если каждую нить диаграммы узла можно раскрасить в один из трех цветов при соблюдении следующих правил: [2]

1. Необходимо использовать как минимум два цвета, и
2. При каждом пересечении три падающие нити либо одного цвета, либо все разных цветов.

Вместо этого в некоторых источниках указывается, что необходимо использовать все три цвета. [3] Для узла это эквивалентно приведенному выше определению; однако для ссылки это не так.

«Узел-трилистник и тривиальное 2-звено трехцветны, а узел, звено Уайтхеда и узел-восьмерка — нет. Если проекция узла трехцветна, то движения Райдемейстера на узле сохраняют трехцветность, поэтому либо каждая проекция узел либо трехцветный, либо нет». [2]

Вот пример того, как раскрасить узел по правилам триколора. По соглашению теоретики узлов используют красный, зеленый и синий цвета.

Пример трехцветного узла

[ редактировать ]

Бабушкин узелок трехцветный. В этом окрашивании три нити на каждом пересечении имеют три разных цвета. Окраска одного, а не обоих узлов трилистника в красный цвет также даст допустимую окраску. Узел настоящего любовника тоже трехцветный. [4]

Трехцветные узлы с менее чем девятью пересечениями включают 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 и 8 21 .

Пример нетрехцветного узла

[ редактировать ]

Узел «восьмерка» не является трехцветным. На показанной диаграмме он состоит из четырех нитей, каждая пара нитей встречается в каком-то месте пересечения. Если бы три пряди имели одинаковый цвет, то все пряди были бы одного цвета. В противном случае каждая из этих четырех нитей должна иметь свой цвет. Поскольку трехцветность является инвариантом узла, ни одна из других его диаграмм также не может быть трехцветной.

Изотопический инвариант

[ редактировать ]

Трехцветность — это изотопический инвариант , который является свойством узла или звена , которое остается постоянным независимо от какой-либо окружающей изотопии . Это можно доказать для ручных узлов, исследуя ходы Райдемейстера . Поскольку каждое движение Райдемейстера можно сделать, не влияя на трехцветность, триколорность является изотопическим инвариантом ручных узлов. [5] .

Reidemeister Move I трехцветный. Reidemeister Move II трехцветный. Reidemeister Move III трехцветный.

Характеристики

[ редактировать ]

Поскольку трехцветность является бинарной классификацией (ссылка либо трехцветная, либо нет*), она является относительно слабым инвариантом. Композиция трехцветного узла с другим узлом всегда трехцветная. Способ усиления инварианта — подсчитать количество возможных 3-раскрасок. В этом случае правило использования как минимум двух цветов смягчено, и теперь каждое звено имеет как минимум три 3-раскраски (просто раскрасьте каждую дугу в один и тот же цвет). В этом случае ссылка является трехцветной, если она имеет более трех трехцветных раскрасок.

Любое отделимое звено с трехцветным отделимым компонентом также является трехцветным.

В торических узлах

[ редактировать ]

Если торический узел /звено, обозначенный (m,n), трехцветный, то и (j*m,i*n) и(i*n,j*m) для любых натуральных чисел i и j.

См. также

[ редактировать ]

Источники

[ редактировать ]
  1. Сяоюй Цяо, Эл., Неделя теории узлов 2: Трехцветность (20 января 2015 г.), Раздел 3.
  2. ^ Jump up to: а б Вайсштейн, Эрик В. (2010). Краткая математическая энциклопедия CRC , второе издание, стр.3045. ISBN   9781420035223 . цитируется в Вайсштейн, Эрик В. «Трехцветный» . Математический мир . Доступ: 5 мая 2013 г.
  3. ^ Гилберт, Н.Д. и Портер, Т. (1994) Узлы и поверхности , с. 8
  4. ^ Бествина, Младен (февраль 2003 г.). « Узлы: раздаточный материал для математических кружков », Math.Utah.edu .
  5. ^ Адамс, Колин (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 22–27. ISBN  978-0-8218-3678-1 . OCLC   55633800 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5f493b48de595b81b44130d0ab552f4b__1722470400
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5f/4b/5f493b48de595b81b44130d0ab552f4b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Tricolorability - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)