Лиса н -раскраска

В математической области узлов теории Фокса n -раскраска — это метод задания представления группы узлов или группы звеньев (не путать с группой звеньев ) на группе диэдра порядка n, где n — нечетное целое число путем раскрашивания дуг диаграммы связей (само представление также часто называют n -раскраской Фокса). Ральф Фокс открыл этот метод (и особый случай трехцветности ) «в стремлении сделать этот предмет доступным для всех», когда он объяснял теорию узлов студентам Хаверфордского колледжа в 1956 году. n -раскраска Фокса является примером спряжения. квандл .

Определение

Пусть L — ссылка , и пусть $\pi$ быть фундаментальной группой своего дополнения . Представительство $\rho$ из $\pi$ на $D_{2n}$ группа диэдра порядка 2n называется n -раскраской Фокса (или просто n -раскраской) L . Ссылка L, допускающая такое представление, называется n -раскрашиваемой и $\rho$ называется n -раскраской L . Подобные представления групп связей рассматривались в контексте охватывающих пространств со времен Райдемайстера в 1929 году. » было дано ему гораздо позже математиками, которые, вероятно, не умели читать по-немецки.] Предпочтительным термином Фокса для так называемой «3-раскраски Лисы» было «свойство L»; см. упражнение 6 на стр. 92 его книги «Введение в теорию узлов» (1963).

Группа ссылок генерируется путями от базовой точки в $S^{3}$ до границы трубчатой окрестности звена, вокруг меридиана трубчатой окрестности и обратно к базовой точке. В силу сюръективности представления эти образующие должны отображаться в отражения правильного n -угольника. Такие отражения соответствуют элементам $ts^{i}$ группы диэдра, где t — отражение, а s — порождающая ( $2\pi /n$ ) вращение n -угольника. Приведенные выше генераторы группы звена находятся в биективном соответствии с дугами диаграммы звена , и если генератор отображается в $ts^{i}\in D_{2p}$ раскрашиваем соответствующую дугу $i\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . Это называется n -раскраской Фокса диаграммы связей и удовлетворяет следующим свойствам:

Используются не менее двух цветов (в силу сюръективности $\rho$ ).
В районе пересечения среднее значение цветов пересекающих дуг равно цвету пересекающей дуги (поскольку $\rho$ является представлением группы ссылки).

цветное звено n- дает 3-многообразие M, если взять (нерегулярное) двугранное накрытие 3-сферы, разветвленной над L, с монодромией , заданной формулой $\rho$ . По теореме Монтесиноса и Хильдена любое замкнутое ориентированное 3-многообразие может быть получено таким образом для некоторого узла K и $\rho$ немного триколора К. Это уже не так, когда n больше трех.

Количество раскрасок

Число различных n -раскрасок Фокса ссылки L , обозначаемое

\mathrm {col} _{n}(L),

— инвариант связи, который легко вычислить вручную на любой диаграмме связей, раскрасив дуги по правилам раскраски. При подсчете раскрасок мы по соглашению также рассматриваем случай, когда всем дугам присвоен один и тот же цвет, и называем такую раскраску тривиальной.

Например, стандартная минимальная диаграмма пересечения узла «Трилистник» имеет 9 различных трехцветных раскрасок, как показано на рисунке:

3 «тривиальные» раскраски (каждая дуга синяя, красная или зеленая)
3 расцветки в порядке заказа Синий→Зеленый→Красный
3 расцветки в порядке заказа Синий→Красный→Зеленый

Совокупность 'n'-раскрасок Фокса зацепления образует абелеву группу. $C_{n}(K)\,$ , где сумма двух n -раскрасок — это n -раскраска, полученная цепочным сложением. Эта группа распадается в прямую сумму

C_{n}(K)\cong \mathbb {Z} _{n}\oplus C_{n}^{0}(K)\,

,

где первое слагаемое соответствует n тривиальным (постоянным) цветам и ненулевым элементам $C_{n}^{0}(K)$ слагаемые соответствуют нетривиальным n -раскраскам ( сдвигам по модулю, полученным добавлением константы к каждой нити).

Если $\#$ оператор связной суммы и $L_{1}$ и $L_{2}$ являются ссылками, то

\mathrm {col} _{n}(L_{1})\mathrm {col} _{n}(L_{2})=n\mathrm {col} _{n}(L_{1}\#L_{2}).

Обобщение к G -раскраске

Пусть L — зацепление, π — фундаментальная группа его дополнения, и пусть G — группа. Гомоморфизм $\rho$ π в G называется G -раскраской L . G - раскраска диаграммы узла — это индуцированное присвоение элемента G нитям L такое, что при каждом пересечении c — элемент G , присвоенный пересекающей нити, и если a и b — элементы G присваивается двум нижним перекрещивающимся нитям, тогда a = c ⁻¹ bc или b = c ⁻¹ ac в зависимости от ориентации перекрещивающейся нити. Если группа G — диэдр порядка 2n , то это схематическое представление G -раскраске Фокса -раскраски сводится к n . Торический узел T(3,5) имеет только постоянные n -раскраски, но для группы G, равной знакопеременной группе A ₅ , T(3,5) имеет непостоянные G -раскраски.

Дальнейшее чтение

Ричард Х. Кроуэлл, Ральф Х. Фокс , «Введение в теорию узлов», Ginn and Co., Бостон, 1963. MR 0146828
Ральф Х. Фокс , Краткий экскурс в теорию узлов , в: М. К. Форт (ред.), «Топология трехмерных многообразий и смежные темы», Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1961, стр. 120–167. МИСТЕР 0140099
Ральф Х. Фокс , Метациклические инварианты узлов и связей , Canadian Journal of Mathematics 22 (1970) 193–201. МИСТЕР 0261584
Юзеф Х. Пшитицкий , 3-раскраска и другие элементарные инварианты узлов. Публикации Банахового центра, Vol. 42, «Теория узлов», Варшава, 1998, 275–295.
Курт Райдемейстер , Узлы и связи , Math. Z. 29 (1929), 713–729. МИСТЕР 1545033