Были домыслы
Гипотеза Тейта — это три гипотезы, выдвинутые математиком XIX века Питером Гатри Тейтом в ходе исследования узлов . [1] Гипотеза Тейта включает в себя такие понятия теории узлов , как чередующиеся узлы , хиральность и корчание . Все гипотезы Тейта были решены, последней из которых является гипотеза Флайпинга.
Предыстория [ править ]
Тейт пришел к своим предположениям после попытки составить таблицу всех узлов в конце 19 века. Как основатель теории узлов, его работам не хватает математически строгой основы, и неясно, намеревался ли он применить свои гипотезы ко всем узлам или только к чередующимся узлам . Оказывается, большинство из них справедливы только для чередующихся узлов. [2] В гипотезе Тейта диаграмма узла называется «редуцированной», если все «перешейки» или «нужные пересечения» удалены.
Число пересечений чередующихся узлов [ править ]
Тейт предположил, что при определенных обстоятельствах число пересечений является инвариантом узла , а именно:
Любая уменьшенная схема переменного звена имеет наименьшее количество пересечений.
Другими словами, число пересечений приведенного чередующегося звена является инвариантом узла. Эту гипотезу доказали Луи Кауфман , Кунио Мурасуги (村杉 邦男) и Морвен Тистлтуэйт в 1987 году с использованием полинома Джонса . [3] [4] [5] Геометрическое доказательство, не использующее полиномы узлов, было дано в 2017 году Джошуа Грином . [6]
Корчи и хиральность [ править ]
Вторая гипотеза Тейта:
Амфихейральное (или ахейральное) переменное звено не имеет изгибов.
Эту гипотезу доказали также Кауфман и Тистлтуэйт . [3] [7]
Летающий [ править ]
Гипотезу Тейта о полете можно сформулировать следующим образом:
Даны любые две приведенные чередующиеся диаграммы и ориентированного простого знакопеременного звена: может быть преобразован в посредством последовательности определенных простых движений, называемых флайпесами . [8]
Гипотеза о полете Тейта была доказана Тистлтуэйтом и Уильямом Менаско в 1991 году. [9] Гипотеза Тейта о полете подразумевает еще несколько гипотез Тейта:
Любые две приведенные диаграммы одного и того же знакопеременного узла имеют одинаковую корку.
Это следует из того, что полет сохраняет корчи. Это было ранее доказано Мурасуги и Тистлтуэйтом . [10] [7] Это также следует из работы Грина. [6] Для непеременных узлов эта гипотеза неверна; пара Перко является контрпримером. [2] Из этого результата также вытекает следующая гипотеза:
Перемежающиеся амфихейральные узлы имеют четное число пересечений. [2]
Это следует из того, что зеркальное отражение узла имеет противоположные изгибы. Эта гипотеза снова верна только для знакопеременных узлов: существуют неперемежающиеся амфихиральные узлы с номером пересечения 15. [11]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Ликориш, В.Б. Рэймонд (1997), Введение в теорию узлов , Тексты для выпускников по математике, том. 175, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, с. 47, номер домена : 10.1007/978-1-4612-0691-0 , ISBN 978-0-387-98254-0 , MR 1472978 , S2CID 122824389 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Стойменов, Александр (2008). «Гипотезы Тейта и странные амфихейральные узлы» . Бык. амер. Математика. Соц . 45 (2): 285–291. arXiv : 0704.1941 . CiteSeerX 10.1.1.312.6024 . дои : 10.1090/S0273-0979-08-01196-8 . S2CID 15299750 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кауфман, Луи (1987). «Модели состояний и полином Джонса». Топология . 26 (3): 395–407. дои : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .
- ^ Мурасуги, Кунио (1987). «Полиномы Джонса и классические гипотезы теории узлов» . Топология . 26 (2): 187–194. дои : 10.1016/0040-9383(87)90058-9 .
- ^ Тистлтуэйт, Морвен (1987). «Разложение связующего дерева полинома Джонса». Топология . 26 (3): 297–309. дои : 10.1016/0040-9383(87)90003-6 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Грин, Джошуа (2017). «Переменные звенья и определенные поверхности». Математический журнал Дьюка . 166 (11): 2133–2151. arXiv : 1511.06329 . Бибкод : 2015arXiv151106329G . дои : 10.1215/00127094-2017-0004 . S2CID 59023367 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Тистлтуэйт, Морвен (1988). «Полином Кауфмана и знакопеременные звенья». Топология . 27 (3): 311–318. дои : 10.1016/0040-9383(88)90012-2 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотезы об узле Тейта» . Математический мир .
- ^ Менаско, Уильям ; Тистлтуэйт, Морвен (1993). «Классификация чередующихся звеньев». Анналы математики . 138 (1): 113–171. дои : 10.2307/2946636 . JSTOR 2946636 .
- ^ Мурасуги, Кунио (1987). «Полиномы Джонса и классические гипотезы теории узлов. II». Математические труды Кембриджского философского общества . 102 (2): 317–318. Бибкод : 1987MPCPS.102..317M . дои : 10.1017/S0305004100067335 . S2CID 16269170 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Амфихиральный узел» . Математический мир .
