Полином Кауфмана

Не путать с кронштейном Кауфмана .

В теории узлов полином Кауфмана с двумя переменными, — это полином узла предложенный Луисом Кауфманом . Первоначально он определяется на диаграмме связей как

$F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)\,$,

где $w(K)$ это корчание диаграммы связей и $L(K)$ является полиномом от a и z, определяемым на диаграммах связей следующими свойствами:

• $L(O)=1$ (О — узел).
• $L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s).$
• L не изменяется при движениях Рейдемейстера типа II и III .

Здесь $s$ это прядь и $s_{r}$ (соответственно $s_{\ell }$) — это та же прядь с добавленным правым (соответственно левым) завитком (с использованием движения Рейдемейстера типа I).

Кроме того, L Кауфмана должно удовлетворять соотношению мотка :

Изображения представляют собой полином L диаграмм, которые различаются внутри диска, как показано, но идентичны снаружи.

Кауфман показал, что L существует и является регулярным изотопическим инвариантом неориентированных связей. Отсюда легко следует, что F — объемлющий изотопический инвариант ориентированных связей.

Полином Джонса является частным случаем полинома Кауфмана, поскольку полином L специализируется на полиноме скобок . Полином Кауфмана связан с калибровочными теориями Черна–Саймонса для SO(N) так же, как полином ХОМФЛИ связан с калибровочными теориями Черна–Саймонса для SU(N).

Дальнейшее чтение

• Кауфман, Луи (1987). О узлах . Анналы математических исследований. Том. 115. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08435-1 . МР   0907872 .

Внешние ссылки

• « Полином Кауфмана », Математическая энциклопедия.
• « Полином Кауфмана », Атлас узлов .