Клубок (математика)

В математике клубок обычно представляет собой одно из двух связанных понятий:

По Джона Конвея определению , n -клубок — это правильное вложение несвязного объединения n дуг в трехмерный шар ; вложение должно направить конечные точки дуг в 2 n отмеченных точек на границе шара.
В теории связей клубок — это вложение n дуг и m кругов в $\mathbf {R} ^{2}\times [0,1]$ – отличие от предыдущего определения состоит в том, что оно включает в себя не только дуги, но и круги, а границу разделяет на две (изоморфные) части, что алгебраически более удобно – оно позволяет, например, добавлять клубки, складывая их друг на друга.

(Совершенно другое использование термина «клубок» появляется в Graph Minors X. Obstructions to Tree Decomposition Н. Робертсона и П.Д. Сеймура, Journal of Combinatorial Theory B 52 (1991) 153–190, которые использовали его для описания разделения в графах. Это использование было распространено на матроидов .)

В остальной части этой статьи обсуждается чувство запутанности Конвея; смысл теории ссылок см. в этой статье .

Два n -клубка считаются эквивалентными, если существует объемлющая изотопия одного клубка по отношению к другому, сохраняющая фиксированную границу трехмерного шара. Теорию клубков можно считать аналогом теории узлов , за исключением того, что вместо замкнутых петель используются веревки, концы которых прибиты гвоздями. См. также теорию кос .

Диаграммы клубков

Без ограничения общности будем считать, что отмеченные точки на границе трех шаров лежат на большом круге. Клубок можно расположить так, чтобы он находился в общем положении относительно проекции на плоский диск, ограниченный большим кругом. Проекция тогда дает нам диаграмму клубка , где мы отмечаем пересечение и недосечение, как и в диаграммах узлов .

Клубки часто отображаются в виде диаграмм клубков на диаграммах узлов или связей и могут использоваться в качестве строительных блоков для диаграмм связей , например, звеньев-кренделей .

Рациональные и алгебраические клубки

Рациональный клубок — это 2-клубок, который гомеоморфен тривиальному 2-клубку посредством отображения пар, состоящих из 3-шара и двух дуг. Четыре конечные точки дуг на граничном круге диаграммы клубка обычно обозначаются как СВ, СЗ, ЮЗ, ЮВ, а символы относятся к направлениям компаса.

Произвольная диаграмма рационального клубка может выглядеть очень сложной, но всегда существует диаграмма той или иной простой формы: начните с диаграммы клубка, состоящей из двух горизонтальных (вертикальных) дуг; добавить «поворот», т.е. одиночное пересечение путем переключения конечных точек СВ и ЮВ (конечные точки ЮЗ и ЮВ); продолжайте, добавляя больше поворотов, используя конечные точки NE и SE или конечные точки SW и SE. Можно предположить, что каждый поворот не меняет диаграмму внутри диска, содержащего ранее созданные пересечения.

Мы можем описать такую диаграмму, рассматривая числа, заданные последовательными поворотами вокруг одного и того же набора конечных точек, например (2, 1, -3) означает начало с двух горизонтальных дуг, затем 2 поворота с использованием конечных точек СВ/ЮВ, затем 1 поворот с использованием конечных точек. Конечные точки ЮЗ/ЮВ, а затем 3 поворота с использованием конечных точек СВ/ЮВ, но с поворотом в направлении, противоположном предыдущему. Список начинается с 0, если вы начинаете с двух вертикальных дуг. Тогда диаграмма с двумя горизонтальными дугами будет (0), но мы присвоим (0, 0) диаграмме с вертикальными дугами. Для описания «позитивного» или «негативного» поворота необходимо соглашение. Часто «рациональный клубок» относится к списку чисел, представляющему описанную простую диаграмму.

Доля рационального клубка $(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$ затем определяется как число, заданное цепной дробью $[a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]$ . Дробь, заданная (0,0), определяется как $\infty$ . Конвей доказал, что дробь корректно определена и полностью определяет рациональный клубок с точностью до запутанной эквивалентности. ^[1] Доступное доказательство этого факта приведено в:. ^[2] Конвей также определил долю произвольного клубка, используя полином Александера .

Операции с клубками

Существует «арифметика» клубков со сложением, умножением и обратными операциями. Алгебраический клубок получается сложением и умножением рациональных клубков.

рационального Замыкание числителя клубка определяется как связь, полученная путем соединения «северных» конечных точек вместе, а также «южных» конечных точек. определяется Замыкание знаменателя аналогичным образом путем группировки конечных точек «восток» и «запад». Рациональные связи определяются как такие замыкания рациональных клубков.

Обозначение Конвея

Одной из причин изучения клубков Конвеем было создание более систематического обозначения узлов, чем традиционное перечисление в таблицах.

Приложения

Было показано, что клубки полезны при изучении топологии ДНК . Действие данного фермента можно проанализировать с помощью теории клубков. ^[3]

См. также

Запутывание головоломки

Ссылки

^ Конвей, Дж. Х. (1970). «Перечень узлов и связей и некоторые их алгебраические свойства» (PDF) . В Личе, Дж. (ред.). Вычислительные задачи абстрактной алгебры . Оксфорд, Англия: Pergamon Press. стр. 329–358.
^ Кауфман, Луи Х .; Ламбропулу, София (12 января 2004 г.). «О классификации рациональных клубков». Достижения прикладной математики . 33 (2): 199–237. arXiv : math/0311499 . Бибкод : 2003math.....11499K . дои : 10.1016/j.aam.2003.06.002 . S2CID 119143716 .
^ Эрнст, К.; Самнерс, Д.В. (ноябрь 1990 г.). «Расчет рациональных клубков: приложения к рекомбинации ДНК». Математические труды Кембриджского философского общества . 108 (3): 489–515. Бибкод : 1990MPCPS.108..489E . дои : 10.1017/s0305004100069383 . ISSN 0305-0041 .

Дальнейшее чтение

Адамс, CC (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. xiv+307. ISBN 0-8218-3678-1 .

Внешние ссылки

Маккей, Дэвид . «Метапост-код для рисования клубков и других картинок» . Группа выводов . Проверено 13 апреля 2018 г.
Голдман, Джей Р.; Кауфман, Луи Х. (1997). «Рациональные клубки» (PDF) . Достижения прикладной математики . 18 (3): 300–332. дои : 10.1006/aama.1996.0511 .

[1] Конвей, Дж. Х. (1970). «Перечень узлов и связей и некоторые их алгебраические свойства» (PDF) . В Личе, Дж. (ред.). Вычислительные задачи абстрактной алгебры . Оксфорд, Англия: Pergamon Press. стр. 329–358.

[2] Кауфман, Луи Х .; Ламбропулу, София (12 января 2004 г.). «О классификации рациональных клубков». Достижения прикладной математики . 33 (2): 199–237. arXiv : math/0311499 . Бибкод : 2003math.....11499K . дои : 10.1016/j.aam.2003.06.002 . S2CID 119143716 .

[3] Эрнст, К.; Самнерс, Д.В. (ноябрь 1990 г.). «Расчет рациональных клубков: приложения к рекомбинации ДНК». Математические труды Кембриджского философского общества . 108 (3): 489–515. Бибкод : 1990MPCPS.108..489E . дои : 10.1017/s0305004100069383 . ISSN 0305-0041 .

[1]

[2]

[3]