Клубок (математика)

Узел кренделя (-2,3,7) имеет два правосторонних скручивания в первом клубке , три левых скручивания во втором и семь левых скручиваний в третьем.

В математике клубок обычно представляет собой одно из двух связанных понятий:

• По Джона Конвея определению , n -клубок — это правильное вложение несвязного объединения n дуг в трехмерный шар ; вложение должно направить конечные точки дуг в 2 n отмеченных точек на границе шара.
• В теории связей клубок — это вложение n дуг и m кругов в $\mathbf {R} ^{2}\times [0,1]$ – отличие от предыдущего определения состоит в том, что оно включает в себя не только дуги, но и круги, а границу разделяет на две (изоморфные) части, что алгебраически более удобно – оно позволяет, например, добавлять клубки, складывая их друг на друга.

(Совершенно другое использование термина «клубок» появляется в Graph Minors X. Obstructions to Tree Decomposition Н. Робертсона и П.Д. Сеймура, Journal of Combinatorial Theory B 52 (1991) 153–190, которые использовали его для описания разделения в графах. Это использование было распространено на матроидов .)

В остальной части этой статьи обсуждается чувство запутанности Конвея; смысл теории ссылок см. в этой статье .

Два n -клубка считаются эквивалентными, если существует объемлющая изотопия одного клубка по отношению к другому, сохраняющая фиксированную границу трехмерного шара. Теорию клубков можно считать аналогом теории узлов , за исключением того, что вместо замкнутых петель используются веревки, концы которых прибиты гвоздями. См. также теорию кос .

Диаграммы клубков

Без ограничения общности будем считать, что отмеченные точки на границе трех шаров лежат на большом круге. Клубок можно расположить так, чтобы он находился в общем положении относительно проекции на плоский диск, ограниченный большим кругом. Проекция тогда дает нам диаграмму клубка , где мы отмечаем пересечение и недосечение, как и в диаграммах узлов .

Клубки часто отображаются в виде диаграмм клубков на диаграммах узлов или связей и могут использоваться в качестве строительных блоков для диаграмм связей , например звеньев-кренделей .

Рациональные и алгебраические клубки

Некоторые операции с клубками:

Слева: Клубок а и его отражение. ⁻ а . Вверху справа: сложение клубка, обозначенное a + b . В центре справа: произведение Tangle, обозначенное ab , эквивалентное ⁻ а + б . Внизу справа: разветвление, обозначаемое a, b , что эквивалентно ⁻ + ⁻ б

Рациональный клубок — это 2-клубок, который гомеоморфен тривиальному 2-клубку посредством отображения пар, состоящих из 3-шара и двух дуг. Четыре конечные точки дуг на граничном круге диаграммы клубка обычно обозначаются как СВ, СЗ, ЮЗ, ЮВ, а символы относятся к направлениям компаса.

Произвольная диаграмма рационального клубка может выглядеть очень сложной, но всегда существует диаграмма той или иной простой формы: начните с диаграммы клубка, состоящей из двух горизонтальных (вертикальных) дуг; добавить «поворот», т.е. одиночное пересечение путем переключения конечных точек СВ и ЮВ (конечные точки ЮЗ и ЮВ); продолжайте, добавляя больше поворотов, используя конечные точки NE и SE или конечные точки SW и SE. Можно предположить, что каждый поворот не меняет диаграмму внутри диска, содержащего ранее созданные пересечения.

Мы можем описать такую ​​диаграмму, рассматривая числа, заданные последовательными поворотами вокруг одного и того же набора конечных точек, например (2, 1, -3) означает начало с двух горизонтальных дуг, затем 2 поворота с использованием конечных точек СВ/ЮВ, затем 1 поворот с использованием конечных точек. Конечные точки ЮЗ/ЮВ, а затем 3 поворота с использованием конечных точек СВ/ЮВ, но с поворотом в направлении, противоположном предыдущему. Список начинается с 0, если вы начинаете с двух вертикальных дуг. Тогда диаграмма с двумя горизонтальными дугами будет (0), но мы присвоим (0, 0) диаграмме с вертикальными дугами. Для описания «позитивного» или «негативного» поворота необходимо соглашение. Часто «рациональный клубок» относится к списку чисел, представляющему описанную простую диаграмму.

Доля рационального клубка $(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$ затем определяется как число, заданное цепной дробью $[a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]$. Дробь, заданная (0,0), определяется как $\infty$. Конвей доказал, что дробь корректно определена и полностью определяет рациональный клубок с точностью до запутанной эквивалентности. Доступное доказательство этого факта приведено в:. Конвей также определил долю произвольного клубка с помощью полинома Александера .

Операции с клубками

Существует «арифметика» клубков со сложением, умножением и обратными операциями. Алгебраический клубок получается сложением и умножением рациональных клубков.

рационального Замыкание числителя клубка определяется как связь, полученная путем соединения «северных» конечных точек вместе, а также «южных» конечных точек. определяется Замыкание знаменателя аналогичным образом путем группировки конечных точек «восток» и «запад». Рациональные связи определяются как такие замыкания рациональных клубков.

Обозначение Конвея

Основная статья: обозначения Конвея (теория узлов)

Одной из причин изучения клубков Конвеем было создание более систематического обозначения узлов, чем традиционное перечисление в таблицах.

Приложения

Было показано, что клубки полезны при изучении топологии ДНК . Действие данного фермента можно проанализировать с помощью теории клубков.

См. также

• Запутывание головоломки

Дальнейшее чтение

• Адамс, CC (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. xiv+307. ISBN  0-8218-3678-1 .

Внешние ссылки

• Маккей, Дэвид . «Метапост-код для рисования клубков и других картинок» . Группа выводов . Проверено 13 апреля 2018 г.
• Голдман, Джей Р.; Кауфман, Луи Х. (1997). «Рациональные клубки» (PDF) . Достижения прикладной математики . 18 (3): 300–332. дои : 10.1006/aama.1996.0511 .