Чистый субмодуль

В математике , особенно в области теории модулей , концепция чистого подмодуля обеспечивает обобщение прямого слагаемого , типа особенно хорошо управляемой части модуля . Чистые модули дополняют плоские модули и обобщают понятие Прюфера о чистых подгруппах . В то время как плоские модули — это те модули, которые оставляют короткие точные последовательности после тензорирования , чистый подмодуль определяет короткую точную последовательность (известную как чистая точная последовательность ), которая остается точной после тензорирования с любым модулем. Аналогично плоский модуль является прямым пределом проективных модулей , а чисто точная последовательность — прямым пределом расщепляемых точных последовательностей .

Определение

Пусть R — кольцо , с 1), пусть M — (левый) модуль над R , пусть P — подмодуль M ( ассоциативное и пусть i : P → M — естественное инъективное отображение. Тогда P является чистым подмодулем модуля M , если для любого (правого) R -модуля X естественное индуцированное отображение id _X ⊗ i : X ⊗ P → X ⊗ M (где тензорные произведения берутся над R ) инъективно.

Аналогично, короткая точная последовательность

$0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0$

(левых) R -модулей является чисто точным , если последовательность остается точной при тензоризации с любым (правым) R -модулем X . Это эквивалентно тому, что ( A ) — чистый подмодуль B. f

Эквивалентные характеристики

Чистота субмодуля также может выражаться поэлементно; на самом деле это утверждение о разрешимости некоторых систем линейных уравнений. , P является чистым в M тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для любой m -n В частности матрицы ( a _ij ) с элементами в R и любого набора y ₁ , ..., y _m элементов P , существуют элементы x ₁ , ..., x _n если в M такие, что

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m$

также существуют элементы x ₁ ′, ..., x _n ′ то в P такие, что

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m$

Другая характеристика такова: последовательность является чисто точной тогда и только тогда, когда она является отфильтрованным копределом (также известным как прямой предел ) разделенных точных последовательностей.

$0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.$

Примеры

• Каждое прямое M M. чисто слагаемое в Следовательно, каждое подпространство векторного пространства над полем чисто.

Характеристики

Предполагать

$0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0$

есть короткая точная последовательность R -модулей, то:

1. C является плоским модулем когда точная последовательность чисто точна для любых A и B. тогда и только тогда , Отсюда можно вывести, что над регулярным кольцом фон Неймана каждый подмодуль каждого R -модуля чист. Это связано с тем, что каждый модуль над регулярным кольцом фон Неймана плоский. Обратное также верно.
2. Предположим, что B плоская. Тогда последовательность чисто точна тогда и только тогда, когда C плоская. Отсюда можно сделать вывод, что чистые подмодули плоских модулей плоские.
3. Предположим, C плоский. Тогда B плоская тогда и только тогда, когда A плоская.

Если $0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0$ является чисто точным, а F — конечно представимым R -модулем, то любой гомоморфизм из F в C можно поднять до B , т. е. для каждого u : F → C существует v : F → B такой, что gv = u .

Ссылки

• Фукс, Ласло (2015), Абелевы группы , Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN  9783319194226

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294