Чистая подгруппа

В математике , особенно в области алгебры, изучающей теорию абелевых групп , чистая подгруппа является обобщением прямого слагаемого . Он нашел множество применений в теории абелевых групп и смежных областях.

Определение [ править ]

Подгруппа $S$ (обычно абелевой ) группы $G$ называется чистым, если всякий раз, когда элемент $S$ имеет $n^{\text{th}}$ укорениться в $G$ , оно обязательно имеет $n^{\text{th}}$ укорениться в $S$ . Формально: $\forall n\in \mathbb {Z} ,a\in S$ , существование $x$ в G такой, что $x^{n}=a\Rightarrow$ существование $y$ в S такой, что $y^{n}=a$ . ^[1]

Происхождение [ править ]

Чистые подгруппы также называются изолированными подгруппами или обслуживающими подгруппами и впервые были исследованы в статье Прюфера 1923 года: ^[2] который описал условия разложения примарных абелевых групп в прямые суммы циклических групп с использованием чистых подгрупп. Работу Прюфера дополнил Куликов. ^[3] где многие результаты были снова доказаны с систематическим использованием чистых подгрупп. В частности, было доказано, что чистые подгруппы конечной экспоненты являются прямыми слагаемыми. Более полное обсуждение чистых подгрупп, их связи с теорией бесконечных абелевых групп и обзор литературы по ним даны в Ирвинга Каплански . маленькой красной книжке ^[4]

Примеры [ править ]

Каждое прямое слагаемое группы является чистой подгруппой.
Каждая чистая подгруппа чистой подгруппы чиста.
подгруппа Делимая абелевой группы чиста.
Если факторгруппа не имеет кручения, то подгруппа чистая.
Периодическая подгруппа абелевой группы чистая.
Направленное объединение чистых подгрупп является чистой подгруппой.

Поскольку в конечно порожденной абелевой группе периодическое подгруппа является прямым слагаемым, можно задаться вопросом, всегда ли периодическая подгруппа является прямым слагаемым абелевой группы. Оказывается, это не всегда слагаемое, а чистая подгруппа. При некоторых мягких условиях чистые подгруппы являются прямыми слагаемыми. Значит, в этих условиях еще можно получить желаемый результат, как в статье Куликова. Чистые подгруппы можно использовать как промежуточное свойство между результатом о прямых слагаемых с условиями конечности и полным результатом о прямых слагаемых с менее ограничительными условиями конечности. Другим примером такого использования является статья Прюфера, в которой тот факт, что «конечные периодические абелевы группы являются прямыми суммами циклических групп», расширяется до результата, что «все периодические абелевы группы конечной экспоненты являются прямыми суммами циклических групп» посредством промежуточного рассмотрения. чистых подгрупп.

Обобщения [ править ]

Чистые подгруппы были обобщены несколькими способами в теории абелевых групп и модулей. Чистые подмодули определялись разными способами, но в конечном итоге остановились на современном определении в терминах тензорных произведений или систем уравнений; более ранние определения обычно представляли собой более прямые обобщения, такие как единственное уравнение, использованное выше для корней n-й степени. Чисто инъективные и чисто проективные модули близко следуют идеям статьи Прюфера 1923 года. Хотя чистые проективные модули не нашли столько применений, как чистые инъективные, они более тесно связаны с исходной работой: модуль является чисто проективным, если он является прямым слагаемым прямой суммы конечно представленных модулей. В случае целых чисел и абелевых групп чистый проективный модуль представляет собой прямую сумму циклических групп.

Ссылки [ править ]

^ Фукс, Л. (1970), Бесконечные абелевы группы, I , Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк, Academic Press.
^ Ревизор, Х. (1923). «Исследования разложимости счетных примарных абелевых групп» . Математика . 17 (1): 35–61. дои : 10.1007/BF01504333 . S2CID 118080723 . Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 г.
^ Куликов, Л. (1941). «К теории абелевых групп произвольной толщины» . Москва . НС 9 : 165–181. Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 г.
^ Капланский, Ирвинг (1954). Бесконечные абелевы группы . Мичиганский университет. ISBN 0-472-08500-Х .

Филип А. Гриффит (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. стр. 9–16. ISBN 0-226-30870-7 . Глава III.

[1] Фукс, Л. (1970), Бесконечные абелевы группы, I , Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк, Academic Press.

[2] Ревизор, Х. (1923). «Исследования разложимости счетных примарных абелевых групп» . Математика . 17 (1): 35–61. дои : 10.1007/BF01504333 . S2CID 118080723 . Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 г.

[3] Куликов, Л. (1941). «К теории абелевых групп произвольной толщины» . Москва . НС 9 : 165–181. Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 г.

[4] Капланский, Ирвинг (1954). Бесконечные абелевы группы . Мичиганский университет. ISBN 0-472-08500-Х .

[1]

[2]

[3]

[4]