Алгебраически компактный модуль

В математике алгебраически компактные модули , также называемые чисто-инъективными модулями , — это модули , обладающие определенным «приятным» свойством, позволяющим решать бесконечные системы уравнений в модуле финитными средствами. Решения этих систем допускают расширение некоторых видов гомоморфизмов модулей . Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективным модулям , в которых можно расширить все гомоморфизмы модулей. Все инъективные модули алгебраически компактны, и аналогия между ними становится весьма точной благодаря вложению категорий.

Определения

Пусть $R —$ , кольцо а $M —$ левый $R$ -модуль. Рассмотрим систему бесконечного числа линейных уравнений

\sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i},

где оба множества $I$ и $J$ могут быть бесконечными, $m_{i}\in M,$ и для каждого $i$ количество ненулевых $r_{i,j}\in R$ конечно.

Цель состоит в том, чтобы решить, имеет ли такая система решение , то есть существуют ли элементы $x j$ из $M$ такие, что все уравнения системы одновременно удовлетворяются. (Не требуется, чтобы только конечное число $x j$ было отличным от нуля.)

Модуль М называется алгебраически компактным , если для всех таких систем каждая подсистема, образованная конечным числом уравнений, имеет решение, то и вся система имеет решение. (Решения для различных подсистем могут быть разными.)

С другой стороны, гомоморфизм модулей $M \to K$ является чистым вложением если индуцированный гомоморфизм между тензорными произведениями $C \otimes M \to C \otimes K$ инъективен , для любого правого $R$ -модуля $C$ . Модуль $M$ является чисто инъективным, если любой чисто инъективный гомоморфизм $j : M \to K$ расщепляется (т. е. существует $f : K \to M$ такой, что $f\circ j=1_{M}$ ).

Оказывается, модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он чисто инъективен.

Примеры

Все модули с конечным числом элементов алгебраически компактны.

Каждое векторное пространство алгебраически компактно (поскольку оно чисто инъективно). В более общем смысле, каждый инъективный модуль алгебраически компактен по той же причине.

Если R — ассоциативная алгебра с 1 над некоторым полем k , то каждый R -модуль конечной k - мерности алгебраически компактен. Это, вместе с тем фактом, что все конечные модули алгебраически компактны, дает основание полагать, что алгебраически компактные модули — это те (возможно, «большие») модули, которые разделяют хорошие свойства «маленьких» модулей.

Группы Прюфера — это алгебраически компактные абелевы группы (т. е. Z -модули). Кольцо p -адических целых чисел для каждого простого числа p алгебраически компактно как модуль над собой и как модуль над Z . Рациональные числа алгебраически компактны как Z -модуль. Вместе с неразложимыми конечными модулями над Z это полный список неразложимых алгебраически компактных модулей.

Многие алгебраически компактные модули могут быть созданы с помощью инъективного когенератора Q / Z абелевых групп. Если H — правый модуль над кольцом R , он образует (алгебраический) модуль характеров H *, состоящий из всех гомоморфизмов групп из H в Q / Z . Тогда это левый R -модуль, и *-операция дает точный контравариантный функтор из правых R -модулей в левые R -модули. Каждый модуль вида H * алгебраически компактен. Более того, существуют чисто инъективные гомоморфизмы H → H ** естественные в H. , Часто можно упростить задачу, сначала применив *-функтор, поскольку с алгебраически компактными модулями легче иметь дело.

Факты

Следующее условие эквивалентно тому, что M алгебраически компактно:

Для каждого набора индексов I карта сложения M ^(Я) → M можно продолжить до гомоморфизма модулей M ^я → М (здесь М ^(Я) обозначает прямую сумму копий M , по одной для каждого элемента I ; М ^я обозначает произведение копий M , по одной для каждого элемента I ).

Каждый неразложимый алгебраически компактный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов .

Алгебраически компактные модули имеют много общих свойств с инъективными объектами по следующим причинам: существует вложение R -Mod в категорию Гротендика G, при которой алгебраически компактные R -модули точно соответствуют инъективным объектам в G .

Каждый R -модуль элементарно эквивалентен алгебраически компактному R -модулю и прямой сумме неразложимых алгебраически компактных R -модулей. ^[1]

Ссылки

^ Прест, Майк (1988). Теория моделей и модули . Серия лекций Лондонского математического общества: Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1 .

CU Дженсен и Х. Ленцинг: Модельная теоретическая алгебра , Гордон и Брич, 1989

[1] Прест, Майк (1988). Теория моделей и модули . Серия лекций Лондонского математического общества: Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1 .

[1]