Инъекционный когенератор
 |
В теории категорий , разделе математики, концепция инъективного когенератора взята из таких примеров, как двойственность Понтрягина . Генераторы — это объекты, которые аппроксимируют другие объекты, а (двойственные) когенераторы — это объекты, которые аппроксимируют другие объекты.
Точнее:
- Генератор такой , категории что с нулевым объектом — это объект G каждого ненулевого объекта H существует ненулевой морфизм f: G → H. для
- Когенератором → называется объект C такой, что для каждого ненулевого объекта существует ненулевой морфизм f H : C. H (Обратите внимание на обратный порядок).
Случай абелевой группы [ править ]
Предполагая, что у нас есть такая категория, как абелевы группы , можно фактически формировать прямые суммы копий G до тех пор, пока не будет найден морфизм
- е : Сумма( G ) → Ч
является сюръективным ; и можно образовывать прямые произведения C до тех пор, пока не возникнет морфизм
- ж : Ч → Прод( С )
является инъективным .
Например, целые числа являются генератором категории абелевых групп (поскольку каждая абелева группа является фактором свободной абелевой группы ). Это происхождение термина «генератор» . Приближение здесь обычно описывается как генераторы и отношения.
В качестве примера когенератора в той же категории у нас есть Q / Z , рациональные числа по модулю целых чисел, который является делимой абелевой группой. Для любой абелевой группы A существует изоморфная копия A , содержащаяся внутри произведения |A| копии Q / Z . Это приближение близко к так называемой делимой оболочке — истинная оболочка подчиняется условию минимальности.
Общая теория [ править ]
Нахождение генератора абелевой категории позволяет выразить каждый объект как частное прямой суммы копий генератора. Нахождение когенератора позволяет выразить каждый объект как подобъект прямого произведения копий когенератора. Часто интересуются проективными генераторами (даже конечно порожденными проективными генераторами, называемыми прогенераторами) и минимальными инъективными когенераторами. Оба примера выше имеют эти дополнительные свойства.
Когенератор Q / Z полезен при изучении модулей над общими кольцами. Если H — левый модуль над кольцом R , он образует (алгебраический) модуль характеров H *, состоящий из всех гомоморфизмов абелевых групп от H до Q / Z . H * тогда является правым R-модулем. То, что Q / Z является когенератором, говорит именно о том, что H * равно 0 тогда и только тогда, когда H равно 0. Верно даже больше: операция * принимает гомоморфизм
- е : Ч → К
к гомоморфизму
- ж *: К * → Н *,
и f * равен 0 тогда и только тогда, когда f равен 0. Таким образом, это точный контравариантный функтор от левых R -модулей к правым R -модулям.
Каждое H * чисто-инъективно (его также называют алгебраически компактным). Часто можно рассмотреть проблему после применения *, чтобы упростить задачу.
Все это можно сделать и для непрерывных модулей H : формируется модуль топологического характера гомоморфизмов непрерывных групп из H в группу окружностей R / Z .
В общей топологии [ править ]
Теорему о расширении Титце можно использовать, чтобы показать, что интервал является инъективным когенератором в категории топологических пространств, подчиняющихся аксиомам разделения .