Символьный модуль

В математике, особенно в области абстрактной алгебры , каждому модулю соответствует соответствующий символьный модуль . Используя связанный символьный модуль, можно исследовать свойства исходного модуля. Один из основных результатов, открытых Иоахимом Ламбеком, показывает, что модуль является плоским тогда и только тогда, когда связанный с ним характерный модуль инъективен . ^[1]

Определение

Группа $(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,+)$ , группа рациональных чисел по модулю ${\textstyle 1}$ , можно рассматривать как $\mathbb {Z}$ -модуль естественным способом. Позволять $M$ быть аддитивной группой, которая также рассматривается как $\mathbb {Z}$ -модуль. Затем группа $M^{*}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ из $\mathbb {Z}$ - гомоморфизмы из $M$ к $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ называется группой символов, связанной с $M$ . Элементы этой группы называются символами . Если $M$ это левый $R$ -модуль над кольцом $R$ , затем группа символов $M^{*}$ это право $R$ -module и называется символьным модулем, связанным с $M$ . Действие модуля в символьном модуле для $f\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ и $r\in R$ определяется $(fr)(m)=f(rm)$ для всех $m\in M$ . ^[2] Символьный модуль также может быть определен таким же образом для правого $R$ -модули. В литературе также используются обозначения $M',M^{0}$ и $M^{+}$ используются для символьных модулей. ^[3]^[4]

Позволять $M,N$ остаться $R$ -модули и $f\colon M\to N$ а $R$ -гомоморфизм. Тогда отображение $f^{*}\colon N^{*}\to M^{*}$ определяется $f^{*}(h)=h\circ f$ для всех $h\in N^{*}$ это право $R$ -гомоморфизм. Формирование символьного модуля — контравариантный функтор из категории левых $R$ -модули в категорию права $R$ -модули. ^[3]

Мотивация

Абелева группа $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ делим , и, следовательно инъективен $\mathbb {Z}$ -модуль. Кроме того, он обладает следующим важным свойством: Пусть $G$ быть абелевой группой и $g\in G$ ненулевой. Тогда существует групповой гомоморфизм $f\colon G\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ с $f(g)\neq 0$ . Это говорит о том, что $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ является когенератором . С помощью этих свойств можно показать основную теорему теории модулей характеров: ^[3]

Теорема (Ламбека) ^[1]: Левый модуль $M$ по кольцу $R$ является плоским тогда и только тогда, когда символьный модуль $M^{*}$ это инъективное право $R$ -модуль.

Характеристики

Позволять $M$ быть левым модулем над кольцом $R$ и $M^{*}$ связанный символьный модуль.

Модуль $M$ является плоским тогда и только тогда, когда $M^{*}$ инъективен (теорема Ламбека ^[4]). ^[1]
Если $M$ бесплатно, тогда $M^{*}$ это инъективное право $R$ -модуль и $M^{*}$ является прямым продуктом копий права $R$ -модули $R^{*}$ . ^[2]
За каждое право $R$ -модуль $N$ есть бесплатный модуль $M$ такой, что $N$ изоморфен подмодулю $M^{*}$ . С предыдущим свойством этот модуль $M^{*}$ инъективен, следовательно, каждое право $R$ -модуль изоморфен подмодулю инъективного модуля. (Теорема Бэра) ^[5]
левый $R$ -модуль $N$ инъективен тогда и только тогда, когда существует свободное $M$ такой, что $N$ изоморфно прямому слагаемому $M^{*}$ . ^[5]
Модуль $M$ инъективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым символьного модуля свободного модуля. ^[2]
Если $N$ является подмодулем $M$ , затем $(M/N)^{*}$ изоморфен подмодулю $M^{*}$ который состоит из всех элементов, которые уничтожают $N$ . ^[2]
Формирование модуля символов является контравариантным точным функтором , т. е. сохраняет точные последовательности. ^[3]
Позволять $N$ быть правом $R$ -модуль. Затем модули $\operatorname {Hom} _{R}(N,M^{*})$ и $(N\otimes _{R}M)^{*}$ изоморфны как $\mathbb {Z}$ -модули. ^[4]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Ламбек, Иоахим (1964). «Модуль является плоским тогда и только тогда, когда его символьный модуль инъективен» . Канадский математический бюллетень . 7 (2): 237–243. дои : 10.4153/CMB-1964-021-9 . ISSN 0008-4395 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ламбек, Иоахим. (2009). Лекции о кольцах и модулях . Американское математическое общество. Провиденс, Род-Айленд: Паб AMS Chelsea. ISBN 9780821849002 . OCLC 838801039 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Лам, Цит-Юэн (1999). Лекции о модулях и кольцах . Тексты для аспирантов по математике. Том. 189. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Теркан, Аднан; Юсель, Канан К. (2016). Теория модулей, расширение модулей и обобщения . Границы в математике. Швейцария: Биркхойзер. ISBN 9783034809528 .
^ Jump up to: ^а ^б Беренс, Эрнст-Август. (1972). Теория колец . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 9780080873572 . OCLC 316568566 .

[:1-1] Jump up to: ^а ^б ^с Ламбек, Иоахим (1964). «Модуль является плоским тогда и только тогда, когда его символьный модуль инъективен» . Канадский математический бюллетень . 7 (2): 237–243. дои : 10.4153/CMB-1964-021-9 . ISSN 0008-4395 .

[:2-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ламбек, Иоахим. (2009). Лекции о кольцах и модулях . Американское математическое общество. Провиденс, Род-Айленд: Паб AMS Chelsea. ISBN 9780821849002 . OCLC 838801039 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Лам, Цит-Юэн (1999). Лекции о модулях и кольцах . Тексты для аспирантов по математике. Том. 189. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York.

[:3-4] Jump up to: ^а ^б ^с Теркан, Аднан; Юсель, Канан К. (2016). Теория модулей, расширение модулей и обобщения . Границы в математике. Швейцария: Биркхойзер. ISBN 9783034809528 .

[:4-5] Jump up to: ^а ^б Беренс, Эрнст-Август. (1972). Теория колец . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 9780080873572 . OCLC 316568566 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]