Прямая сумма

Прямая сумма — это операция между структурами в абстрактной алгебре , разделе математики . Оно определяется по-разному, но аналогично для разных видов структур. Например, прямая сумма двух абелевых групп $A$ и $B$ это еще одна абелева группа $A\oplus B$ состоящая из упорядоченных пар $(a,b)$ где $a\in A$ и $b\in B$. Чтобы добавить упорядоченные пары, определим сумму $(a,b)+(c,d)$ быть $(a+c,b+d)$; другими словами, сложение определяется по координатам. Например, прямая сумма $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$, где $\mathbb {R}$ — действительное координатное пространство , — декартова плоскость , $\mathbb {R} ^{2}$. Аналогичный процесс можно использовать для формирования прямой суммы двух векторных пространств или двух модулей .

Мы также можем образовывать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например $A\oplus B\oplus C$, предоставил $A,B,$ и $C$ являются одними и теми же видами алгебраических структур (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том факте, что прямая сумма ассоциативна с точностью до изоморфизма . То есть, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ для любых алгебраических структур $A$, $B$, и $C$ такого же рода. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, т.е. $A\oplus B\cong B\oplus A$ для любых алгебраических структур $A$ и $B$ такого же рода.

Прямая сумма конечного числа абелевых групп, векторных пространств или модулей канонически изоморфна соответствующему прямому произведению . Однако это неверно для некоторых алгебраических объектов, таких как неабелевы группы.

В случае объединения бесконечного числа объектов прямая сумма и прямое произведение не изоморфны даже для абелевых групп, векторных пространств или модулей. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение (счетного) бесконечного числа копий целых чисел. Элемент в прямом произведении представляет собой бесконечную последовательность, например (1,2,3,...), но в прямой сумме существует требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1,2 ,3,...) будет элементом прямого произведения, но не прямой суммы, а (1,2,0,0,0,...) будет элементом обоих. Часто, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, а если используется какая-либо форма умножения, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. Говоря более техническим языком, если слагаемые равны $(A_{i})_{i\in I}$, прямая сумма

$$\bigoplus _{i\in I}A_{i}$$

определяется как набор кортежей $(a_{i})_{i\in I}$ с $a_{i}\in A_{i}$ такой, что $a_{i}=0$ для всех, кроме конечного числа i . Прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ содержится в прямом произведении ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$, но строго меньше, если индекс установлен $I$ бесконечно, поскольку элемент прямого произведения может иметь бесконечное количество ненулевых координат.

Примеры

Плоскость xy , двумерное векторное пространство , можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно осей x и y . В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевом векторе). Сложение определяется по координатам, т.е. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$, что аналогично сложению векторов.

Учитывая две структуры $A$ и $B$, их прямая сумма записывается как $A\oplus B$. Учитывая индексированное семейство структур $A_{i}$, индексированный с помощью $i\in I$, прямую сумму можно записать ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$. Каждое A _i называется слагаемым A . прямым Если набор индексов конечен, прямая сумма равна прямому произведению. В случае групп, если групповая операция записана как $+$ используется словосочетание «прямая сумма», а если записана групповая операция $*$ используется фраза «прямой продукт». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма — это не то же самое, что прямое произведение, поскольку к прямой сумме предъявляется дополнительное требование: все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю.

и внешние

Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определяются слагаемые, а затем через слагаемые определяется прямая сумма, мы имеем внешнюю прямую сумму. Например, если мы определим действительные числа $\mathbb {R}$ а затем определить $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ прямая сумма называется внешней.

С другой стороны, если мы сначала определим некоторую алгебраическую структуру $S$ а потом напиши $S$ как прямая сумма двух подструктур $V$ и $W$, то прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент $S$ однозначно выражается как алгебраическая комбинация элемента $V$ и элемент $W$. В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим $\mathbb {Z} _{6}$ (целые числа по модулю шесть), элементами которого являются $\{0,1,2,3,4,5\}$. Это выражается как внутренняя прямая сумма $\mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$.

Виды прямой суммы

сумма

Основная статья: Прямой продукт групп

Прямая сумма абелевых групп является типичным примером прямой суммы. Даны две такие группы $(A,\circ )$ и $(B,\bullet ),$ их прямая сумма $A\oplus B$ то же самое, что и их прямое произведение . То есть базовым набором является декартово произведение $A\times B$ и групповая операция $\,\cdot \,$ определяется покомпонентно:

$$\left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).$$

Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп.

Для произвольного семейства групп $A_{i}$ индексируется $i\in I,$ их прямая сумма

$$\bigoplus _{i\in I}A_{i}$$

— подгруппа прямого произведения, состоящая из элементов ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ которые имеют конечную поддержку , где по определению $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ говорят, что он имеет конечный носитель, если $a_{i}$ является элементом идентичности $A_{i}$ для всех, кроме конечного числа $i.$ Прямая сумма бесконечного семейства $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ нетривиальных групп является собственной подгруппой группы произведений ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

Прямая сумма модулей

Основная статья: Прямая сумма модулей

Прямая сумма модулей – это конструкция, объединяющая несколько модулей в новый модуль.

Наиболее знакомые примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств , которые являются модулями над полем . Конструкция может быть распространена также на банаховы и гильбертовы пространства .

Прямая сумма по категориям

Основная статья: Сопродукт

Аддитивная категория — это абстракция свойств категории модулей. В такой категории конечные произведения и копроизведения совпадают, и прямая сумма равна любому из них, ср. бипродукт .

Общий случай: В теории категорий Прямая сумма часто, но не всегда, является сопроизведением в категории рассматриваемых математических объектов. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. Это также справедливо и в отношении модулей.

копродукции в категориях

Однако прямая сумма $S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (определяется тождественно прямой сумме абелевых групп) не является копроизведением групп $S_{3}$ и $\mathbb {Z} _{2}$ в категории групп . Поэтому для этой категории категориальную прямую сумму часто называют просто копродукцией, чтобы избежать возможной путаницы.

сумма

Смотрите также: Теория представлений конечных групп § Прямая сумма представлений

Прямая сумма представлений группы обобщает прямую сумму базовых модулей , добавляя групповое действие к ней . В частности, учитывая группу $G$ и два представления $V$ и $W$ из $G$ (или, в более общем смысле, два $G$-модули ), прямая сумма представлений равна $V\oplus W$ с действием $g\in G$ задано покомпонентно, т.е.

$$g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).$$

Другой эквивалентный способ определения прямой суммы заключается в следующем:

Учитывая два представления $(V,\rho _{V})$ и $(W,\rho _{W})$ векторное пространство прямой суммы есть $V\oplus W$ и гомоморфизм $\rho _{V\oplus W}$ дается $\alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),$ где $\alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)$ — естественная карта, полученная координатным действием, как указано выше.

Кроме того, если $V,\,W$ конечномерны, то, учитывая базис $V,\,W$, $\rho _{V}$ и $\rho _{W}$ являются матричными. В этом случае, $\rho _{V\oplus W}$ дается как

$$g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.$$

Более того, если мы будем относиться $V$ и $W$ как модули над групповым кольцом $kG$, где $k$ — поле, то прямая сумма представлений $V$ и $W$ равна их прямой сумме как $kG$ модули.

Прямая сумма колец

Основная статья: Изделие из колец

Некоторые авторы будут говорить о прямой сумме $R\oplus S$ двух колец, когда они означают прямое произведение $R\times S$, но этого следует избегать с $R\times S$ не получает естественных гомоморфизмов колец из $R$ и $S$: в частности, карта $R\to R\times S$ отправка $r$ к $(r,0)$ не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку он не может перевести 1 в $(1,1)$ (предполагая, что $0\neq 1$ в $S$). Таким образом $R\times S$ не является копроизведением в категории колец и не должно быть записано в виде прямой суммы. (Копроизведение в категории коммутативных колец — это тензорное произведение колец . В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.)

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если $(R_{i})_{i\in I}$ является бесконечным набором нетривиальных колец, то прямая сумма основных аддитивных групп может быть снабжена почленным умножением, но это дает rng , то есть кольцо без мультипликативного тождества.

Прямая сумма матриц

См. Также: Сложение матрицы § Прямая сумма

Для любых произвольных матриц $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$, прямая сумма $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B}$ определяется как блочная диагональная матрица $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ если обе являются квадратными матрицами (и аналогичной блочной матрицей , если нет).

$$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$$

сумма топологических

Основные статьи: Дополненное подпространство и Прямая сумма топологических групп.

Топологическое векторное пространство (ТВП) $X,$ такое как банахово пространство , называется топологической прямой суммой двух векторных подпространств. $M$ и $N$ если дополнительная карта

$${\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}$$

является изоморфизмом топологических векторных пространств (это означает, что это линейное отображение является биективным гомеоморфизмом ), и в этом случае $M$ и $N$ называются топологическими дополнениями в $X.$ Это верно тогда и только тогда, когда при рассмотрении аддитивных топологических групп (поэтому скалярное умножение игнорируется) $X$ является топологической прямой суммой топологических подгрупп $M$ и $N.$ Если это так и если $X$ Хаусдорф ​ тогда $M$ и $N$ обязательно являются замкнутыми подпространствами $X.$

Если $M$ является векторным подпространством вещественного или комплексного векторного пространства $X$ тогда всегда существует другое векторное подпространство $N$ из $X,$ называется алгебраическим дополнением $M$ в $X,$ такой, что $X$ является алгебраической прямой суммой $M$ и $N$ (что происходит тогда и только тогда, когда карта сложения $M\times N\to X$ является изоморфизмом векторного пространства ). В отличие от алгебраических прямых сумм, для топологических прямых сумм существование такого дополнения уже не гарантируется.

Векторное подпространство $M$ из $X$ называется ( топологически ) дополняемым подпространством пространства $X$ если существует некоторое векторное подпространство $N$ из $X$ такой, что $X$ является топологической прямой суммой $M$ и $N.$ Векторное подпространство называется недополненным , если оно не является дополняемым подпространством. Например, каждое векторное подпространство хаусдорфовой ТВС, не являющееся замкнутым подмножеством, обязательно является недополняемым. Каждое замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства дополняемо. Но каждое банахово пространство , не являющееся гильбертовым, обязательно содержит некоторое недополняемое замкнутое векторное подпространство.

Гомоморфизмы

Прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ поставляется с проекционным гомоморфизмом ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ для каждого j в I и копроекции ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ каждого j в I. для Учитывая другую алгебраическую структуру $B$ (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмы $g_{j}\colon A_{j}\to B$ для каждого j в I существует единственный гомоморфизм ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$, называемая суммой g _j , такая, что $g\alpha _{j}=g_{j}$ для всех j . Таким образом, прямая сумма является копродукцией соответствующей категории .

См. также

• Прямая сумма групп
• Прямая сумма перестановок
• Прямая сумма топологических групп
• Ограниченный продукт
• Сумма Уитни
• Теорема Фефермана-Вота

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001