Прямая сумма топологических групп

В математике топологическая группа $G$ называется топологической прямой суммой из двух подгрупп $H_{1}$ и $H_{2}$ если карта $${\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}$$является топологическим изоморфизмом, что означает, что это гомеоморфизм и групповой изоморфизм .

Определение

В более общем смысле, $G$ называется прямой суммой конечного множества подгрупп $H_{1},\ldots ,H_{n}$ карты $${\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}$$является топологическим изоморфизмом.

Если топологическая группа $G$ является топологической прямой суммой семейства подгрупп $H_{1},\ldots ,H_{n}$ то, в частности, как абстрактная группа (без топологии) она есть и прямая сумма (обычным способом) семейства $H_{i}.$

Топологические прямые слагаемые

Учитывая топологическую группу $G,$ мы говорим, что подгруппа $H$ является топологическим прямым слагаемым $G$ (или который топологически распадается от $G$) тогда и только тогда, когда существует другая подгруппа $K\leq G$ такой, что $G$ является прямой суммой подгрупп $H$ и $K.$

Подгруппа $H$ является топологическим прямым слагаемым тогда и только тогда, когда расширение топологических групп $$0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0$$разбивается, где $i$ – естественное включение и $\pi$ это естественная проекция.

Примеры

Предположим, что $G$ — локально компактная абелева группа , содержащая единичную окружность $\mathbb {T}$ как подгруппа. Затем $\mathbb {T}$ является топологическим прямым слагаемым $G.$ То же утверждение справедливо и для действительных чисел. $\mathbb {R}$

См. также

• Дополненное подпространство
• Прямая сумма - операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
• Прямая сумма модулей – Операции в абстрактной алгебре