Расширение топологической группы

В математике , точнее в топологических группах , расширение топологических групп или топологическое расширение представляет собой короткую точную последовательность . $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ где $H,X$ и $G$ являются топологическими группами и $i$ и $\pi$ являются непрерывными гомоморфизмами, открытыми также на свои образы. Поэтому всякое расширение топологической группы является групповым расширением .

Классификация расширений топологических групп

Мы говорим, что топологические расширения

$0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$

и

$0\to H{\stackrel {i'}{\rightarrow }}X'{\stackrel {\pi '}{\rightarrow }}G\rightarrow 0$

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует топологический изоморфизм $T:X\to X'$ сделав коммутативной диаграмму рисунка 1.

Рисунок 1

Мы говорим, что топологическое расширение

$0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$

является расщепленным расширением (или расщеплением), если оно эквивалентно тривиальному расширению

$0\rightarrow H{\stackrel {i_{H}}{\rightarrow }}H\times G{\stackrel {\pi _{G}}{\rightarrow }}G\rightarrow 0$

где $i_{H}:H\to H\times G$ – естественное включение по первому сомножителю и $\pi _{G}:H\times G\to G$ является естественной проекцией на второй фактор.

Легко доказать, что топологическое расширение $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ расщепляется тогда и только тогда, когда существует непрерывный гомоморфизм $R:X\rightarrow H$ такой, что $R\circ i$ это карта идентичности на $H$

Заметим, что топологическое расширение $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ расщепляется тогда и только тогда, когда подгруппа $i(H)$ является топологическим прямым слагаемым $X$

Примеры

• Брать $\mathbb {R}$ реальные цифры и $\mathbb {Z}$ целые числа . Брать $\imath$ естественное включение и $\pi$ естественная проекция. Затем

$0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\imath }{\to }}\mathbb {R} {\stackrel {\pi }{\to }}\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0$

является расширением топологических абелевых групп. Действительно, это пример нерасщепляющегося расширения.

локально компактных абелевых групп (

Расширением топологических абелевых групп будет короткая точная последовательность $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ где $H,X$ и $G$ являются локально компактными абелевыми группами и $i$ и $\pi$ являются относительно открытыми непрерывными гомоморфизмами.

• Пусть – расширение локально компактных абелевых групп

$0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0.$

Брать $H^{\wedge },X^{\wedge }$ и $G^{\wedge }$ Понтрягина двойники ​ $H,X$ и $G$ и возьми $i^{\wedge }$ и $\pi ^{\wedge }$ двойные карты $i$ и $\pi$. Тогда последовательность

$0\to G^{\wedge }{\stackrel {\pi ^{\wedge }}{\to }}X^{\wedge }{\stackrel {\imath ^{\wedge }}{\to }}H^{\wedge }\to 0$

является расширением локально компактных абелевых групп.

единичным

Совершенно особый вид топологических расширений — это расширения вида $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ где $\mathbb {T}$ - единичный круг и $X$ и $G$ являются топологическими абелевыми группами.

Класс S (T)

Топологическая абелева группа $G$ принадлежит к классу ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ тогда и только тогда, когда каждое топологическое расширение формы $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ расколы

• Любая локально компактная абелева группа принадлежит ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$. Другими словами, каждое топологическое расширение $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ где $G$ — локально компактная абелева группа, расщепляется.

• Каждая локально предкомпактная абелева группа принадлежит ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$.

• Банахово пространство (и, в частности, топологическая абелева группа) $\ell ^{1}$ не принадлежит ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$.