G -модуль
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Toroidal_coord.png/220px-Toroidal_coord.png)
В математике для данной группы G G - модуль — это абелева группа M на которой G действует совместимо со структурой абелевой группы на M. , Это широко применимое понятие обобщает понятие представления G . Групповые (ко)гомологии предоставляют важный набор инструментов для изучения общих G -модулей.
Термин G -модуль также используется для более общего понятия R - модуля , на котором G действует линейно (т.е. как группа R -модулей автоморфизмов ).
Определение и основы [ править ]
Позволять быть группой. левый -модуль состоит из [1] абелева группа вместе с левым групповым действием такой, что
- g ·( a 1 + a 2 ) = g · a 1 + g · a 2
для всех a1 a2 и в g в M и всех · G , где g a обозначает ρ( g , a ). Правый G -модуль определяется аналогично. Учитывая левый G -модуль M , его можно превратить в правый G -модуль, определив a · g = g −1 · а .
Функция f f : M → N называется морфизмом G- модулей (или G -линейным отображением , или G -гомоморфизмом ), если одновременно является групповым гомоморфизмом и G - эквивариантом .
Совокупность левых (соответственно правых) G -модулей и их морфизмов образуют абелеву категорию G -Mod (соответственно Mod- G ). Категорию G — Mod (соответственно Mod — G ) можно отождествить с категорией левых (соответственно правых) ZG-модулей , т. е. с модулями над групповым кольцом Z [ G ].
Подмодулем A G - модуля M называется подгруппа ⊆ M , относительно действия G , т. е. g · a ∈ A для всех g ∈ G и a ∈ A. устойчивая Учитывая подмодуль A модуля M , фактормодуль M / A является факторгруппой с действием g ·( + A ) = g · m + A. m
Примеры [ править ]
- Для группы G абелева группа Z является G -модулем с тривиальным действием g · a = a .
- Пусть M будет набором бинарных квадратичных форм f ( x , y ) = ax 2 + 2 bxy + cy 2 с a , b , c целыми числами и пусть G = SL(2, Z 2×2 ) ( специальная линейная группа над Z ). Определять
- где
- и ( x , y ) g — умножение матриц . Тогда M — G -модуль, изучаемый Гауссом . [2] Действительно, у нас есть
- Если V — представление группы G над полем K , то V — G -модуль (это абелева группа относительно сложения).
Топологические группы [ править ]
Если G — топологическая группа , а M — абелева топологическая группа, то топологический G -модуль — это G у которого отображение действия G × M → M непрерывно -модуль , (где топология произведения берется на G × M ). [3]
Другими словами, топологический G-модуль — это абелева топологическая группа M вместе с непрерывным отображением G × M → M , удовлетворяющим обычным соотношениям g ( a + a′ ) = ga + ga′ , ( gg′ ) a = g ( г'а ) и 1 а знак равно а .
Примечания [ править ]
- ^ Кертис, Чарльз В .; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр , John Wiley & Sons (переиздание 2006 г., книжный магазин AMS), ISBN 978-0-470-18975-7 .
- ^ Ким, Мён Хван (1999), Целочисленные квадратичные формы и решетки: материалы Международной конференции по целочисленным квадратичным формам и решеткам, 15–19 июня 1998 г., Сеульский национальный университет, Корея , Американское математическое общество.
- ^ Д. Вигнер (1973). «Алгебраические когомологии топологических групп» . Пер. амер. Математика. Соц . 178 : 83–93. дои : 10.1090/s0002-9947-1973-0338132-7 .
Ссылки [ править ]
- Глава 6 Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .