G -модуль

В математике для данной группы G — G -модуль это абелева группа M, которой G действует совместимо со структурой абелевой группы на M. на Это широко применимое понятие обобщает понятие представления G . Групповые (ко)гомологии предоставляют важный набор инструментов для изучения общих G -модулей.

Термин G -модуль также используется для более общего понятия R -модуля , на котором G действует линейно (т.е. как группа R -модулей автоморфизмов ).

Определение и основы [ править ]

Позволять $G$ быть группой. левый  $G$ -модуль состоит из ^[1] абелева группа $M$ вместе с левым групповым действием $\rho :G\times M\to M$ такой, что

g ·( a ₁ + a ₂) = g · a ₁ + g · a ₂

для всех a1 _g и a2 ₍ в M и всех g в G , где g · a обозначает ρ , a ) . Правый G . -модуль определяется аналогично Учитывая левый G -модуль M , его можно превратить в правый G -модуль, определив a · g = g ⁻¹· а .

Функция и f : M → N называется морфизмом G -модулей (или - линейным отображением , или G -гомоморфизмом ), если f одновременно является групповым гомоморфизмом G G - эквивариантом .

Совокупность левых (соответственно правых) G -модулей и их морфизмов образуют абелеву категорию G -Mod (соответственно Mod- G ). Категорию G — Mod (соответственно Mod — G ) можно отождествить с категорией левых (соответственно правых) ZG-модулей , т. е. с модулями над групповым кольцом Z [ G ].

Подмодулем для M G -модуля называется подгруппа A ⊆ M устойчивая относительно действия G , т. е. g · a ∈ A всех g ∈ G и a ∈ A. , Учитывая подмодуль A модуля M , фактормодуль M / A является факторгруппой с действием g ·( m + A = g · m + A. )

Примеры [ править ]

Для группы G абелева группа Z является G -модулем с тривиальным действием g · a = a .
Пусть M будет набором бинарных квадратичных форм f ( x , y ) = ax ² + 2 bxy + cy ² с a , b , c целыми числами и пусть G = SL(2, Z 2×2 ) ( специальная линейная группа над Z ). Определять

(g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^{t})=f\left((x,y)\cdot {\begin{bmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{bmatrix}}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),

где

g={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

и ( x , y ) g — умножение матриц . Тогда M — G -модуль, изучаемый Гауссом . ^[2] Действительно, у нас есть

g(h(f(x,y)))=gf((x,y)h^{t})=f((x,y)h^{t}g^{t})=f((x,y)(gh)^{t})=(gh)f(x,y).

Если V — представление группы G над полем K , то V — G -модуль (это абелева группа относительно сложения).

Топологические группы [ править ]

Если G — топологическая группа а M — абелева топологическая группа, то топологический G -модуль — это G -модуль, у которого отображение действия G × M → M непрерывно , (где топология произведения берется на G × M ). ^[3]

Другими словами, топологический G-модуль — это абелева топологическая группа M вместе с непрерывным отображением G × M → M, удовлетворяющим обычным соотношениям g ( a + a′ ) = ga + ga′ , ( gg′ ) a = g ( г'а ) и 1 а знак равно а .

Примечания [ править ]

^ Кертис, Чарльз В .; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр , John Wiley & Sons (переиздание 2006 г., книжный магазин AMS), ISBN 978-0-470-18975-7 .
^ Ким, Мён Хван (1999), Целочисленные квадратичные формы и решетки: материалы Международной конференции по целочисленным квадратичным формам и решеткам, 15–19 июня 1998 г., Сеульский национальный университет, Корея , Американское математическое общество.
^ Д. Вигнер (1973). «Алгебраические когомологии топологических групп» . Пер. амер. Математика. Соц . 178 : 83–93. дои : 10.1090/s0002-9947-1973-0338132-7 .

Ссылки [ править ]

Глава 6 Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .

[1] Кертис, Чарльз В .; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр , John Wiley & Sons (переиздание 2006 г., книжный магазин AMS), ISBN 978-0-470-18975-7 .

[2] Ким, Мён Хван (1999), Целочисленные квадратичные формы и решетки: материалы Международной конференции по целочисленным квадратичным формам и решеткам, 15–19 июня 1998 г., Сеульский национальный университет, Корея , Американское математическое общество.

[3] Д. Вигнер (1973). «Алгебраические когомологии топологических групп» . Пер. амер. Математика. Соц . 178 : 83–93. дои : 10.1090/s0002-9947-1973-0338132-7 .

[1]

[2]

[3]