Теория размерности (алгебра)

В математике (и , теория размерностей — это исследование в терминах коммутативной алгебры понятия размерности алгебраического многообразия как следствие, схемы ) . Необходимость теории такого, казалось бы, простого понятия вытекает из существования многих определений размерности, эквивалентных лишь в наиболее регулярных случаях (см. Размерность алгебраического многообразия ). Большая часть теории размерности состоит в изучении условий, при которых несколько измерений равны, и многие важные классы коммутативных колец могут быть определены как кольца, в которых два измерения равны; например, регулярное кольцо — это коммутативное кольцо такое, что гомологическая размерность равна размерности Крулля .

Теория проще для коммутативных колец , которые являются конечно порожденными алгебрами над полем, которые также являются факторкольцами колец полиномов от конечного числа неопределенных над полем. В этом случае, который является алгебраическим аналогом случая аффинных алгебраических множеств , большинство определений размерности эквивалентны. Для общих коммутативных колец отсутствие геометрической интерпретации является препятствием для развития теории; в частности, очень мало известно о нетеровых кольцах . Капланского ( Коммутативные кольца хорошо объясняют ненетеров случай.)

На протяжении всей статьи $\dim$ обозначает размерность Крулля кольца и $\operatorname {ht}$ высота простого идеала (т. е. размерность Крулла локализации в этом простом идеале). Кольца считаются коммутативными, за исключением последнего раздела , посвященного размерам некоммутативных колец.

Основные результаты

Пусть R — нётерово кольцо или кольцо нормирования . Затем $$\dim R[x]=\dim R+1.$$Если R нетерово, это следует из приведенной ниже фундаментальной теоремы (в частности, теоремы Крулла о главном идеале ), но это также является следствием более точного результата. Для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ в Р , $$\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}).$$$$\operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1$$ для любого простого идеала ${\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]$ в $R[x]$ который заключает контракт на ${\mathfrak {p}}$.Это можно показать в рамках базовой теории колец (ср. Капланский, коммутативные кольца). Кроме того, в каждом волокне $\operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R$, нельзя иметь цепочку простых идеалов длины $\geq 2$.

Поскольку артиново кольцо (например, поле) имеет нулевую размерность, по индукции получаем формулу: для артинова кольца R , $$\dim R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.$$

Местные кольца

Основная теорема

Позволять $(R,{\mathfrak {m}})$ быть нетеровским местным кольцом, я а ${\mathfrak {m}}$- первичный идеал (т.е. он находится между некоторой силой ${\mathfrak {m}}$ и ${\mathfrak {m}}$). Позволять $F(t)$ — ряд Пуанкаре соответствующего градуированного кольца ${\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$. То есть, $$F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}$$где $\ell$ относится к длине модуля (над артиновым кольцом $(\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I$). Если $x_{1},\dots ,x_{s}$ сгенерировать I , затем их изображение в $I/I^{2}$ иметь степень 1 и генерировать $\operatorname {gr} _{I}R$ как $R/I$-алгебра. По –Серра теореме Гильберта F — рациональная функция, имеющая ровно один полюс в точке. $t=1$ порядка $d\leq s$. С $$(1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j},$$мы находим, что коэффициент $t^{n}$ в $F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}$ имеет форму $$\sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t){\big |}_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).$$То есть, $\ell (I^{n}/I^{n+1})$ является полиномом $P$ в n степени $d-1$. P называется Гильберта полиномом $\operatorname {gr} _{I}R$.

Мы устанавливаем $d(R)=d$. Мы также установили $\delta (R)$ быть минимальным количеством элементов R , которое может создать ${\mathfrak {m}}$ идеал Р. -первичный Наша цель — доказать фундаментальную теорему : $$\delta (R)=d(R)=\dim R.$$Поскольку мы можем принять s за $\delta (R)$, у нас уже есть $\delta (R)\geq d(R)$ из вышесказанного. Далее мы докажем $d(R)\geq \dim R$ индукцией по $d(R)$. Позволять ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}$ — цепочка простых идеалов в R . Позволять $D=R/{\mathfrak {p}}_{0}$ и x ненулевой неединичный элемент в D . Поскольку x не является делителем нуля, мы имеем точную последовательность $$0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0.$$Оценка степени полинома Гильберта-Самуэля теперь означает, что $d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})$. (Это по существу следует из леммы Артина-Риса ; функции Гильберта-Самуэля .) формулировку и доказательство см. в $R/{\mathfrak {p}}_{1}$, цепь ${\mathfrak {p}}_{i}$ становится цепочкой длиной $m-1$ итак, по индуктивному предположению и снова по оценке степени, $$m-1\leq \dim(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1.$$Претензия следующая. Теперь осталось показать $\dim R\geq \delta (R).$ Точнее, мы покажем:

Лемма — Максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ содержит элементы $x_{1},\dots ,x_{d}$, d = размерность Крулля R , такая, что для любого i любой простой идеал, содержащий $(x_{1},\dots ,x_{i})$ имеет высоту $\geq i$.

(Уведомление: $(x_{1},\dots ,x_{d})$ тогда ${\mathfrak {m}}$-первичный.) Доказательство опускается. Оно появляется, например, у Атьи-Макдональда. Но его также можно поставить в частном порядке; идея состоит в том, чтобы использовать простое избегание .

Следствия основной теоремы

Позволять $(R,{\mathfrak {m}})$ быть нетеровским локальным кольцом и положить $k=R/{\mathfrak {m}}$. Затем

• $\dim R\leq \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$, поскольку в основе ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ лифты к генераторной установке ${\mathfrak {m}}$ автор Накаяма. Если равенство выполнено, то R называется регулярным локальным кольцом .
• $\dim {\widehat {R}}=\dim R$, с $\operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}$.
• ( Теорема Крулла о главном идеале ) Высота идеала, порожденного элементами $x_{1},\dots ,x_{s}$ в нётеровом кольце не более s . наоборот, простой идеал высоты s минимален И над идеалом, порожденным s элементами. (Доказательство: Пусть ${\mathfrak {p}}$ быть простым идеалом, минимальным над таким идеалом. Затем $s\geq \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$. Обратное было показано в ходе доказательства основной теоремы.)

Теорема — Если $A\to B$ является морфизмом нётеровых локальных колец, то $$\dim B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \dim B-\dim A.$$Равенство имеет место, если $A\to B$ является плоским или, в более общем смысле, если оно обладает свойством понижения .

Доказательство: Пусть $x_{1},\dots ,x_{n}$ создать ${\mathfrak {m}}_{A}$-первичный идеал и $y_{1},\dots ,y_{m}$ быть такими, чтобы их изображения создавали ${\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B$-первичный идеал. Затем ${{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B$ для некоторых с . Поднимая обе стороны к более высоким полномочиям, мы видим некоторую силу ${\mathfrak {m}}_{B}$ содержится в $(y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})$; т. е. последний идеал ${\mathfrak {m}}_{B}$-начальный; таким образом, $m+n\geq \dim B$. Равенство — это прямое применение свойства снижения. КЭД

Предложение . Если R — нётерово кольцо, то $$\dim R+1=\dim R[x]=\dim R[\![x]\!].$$

Доказательство: если ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ являются цепочкой простых идеалов в R , то ${\mathfrak {p}}_{i}R[x]$ представляют собой цепочку первичных идеалов в $R[x]$ пока ${\mathfrak {p}}_{n}R[x]$ не является максимальным идеалом. Таким образом, $\dim R+1\leq \dim R[x]$. Для обратного неравенства пусть ${\mathfrak {m}}$ быть максимальным идеалом $R[x]$ и ${\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {m}}$. Четко, $R[x]_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {p}}[x]_{\mathfrak {m}}$.С $R[x]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}R[x]_{\mathfrak {m}}=(R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})[x]_{\mathfrak {m}}$ тогда является локализацией области главных идеалов и имеет размерность не более единицы, получаем $1+\dim R\geq 1+\dim R_{\mathfrak {p}}\geq \dim R[x]_{\mathfrak {m}}$ по предыдущему неравенству. С ${\mathfrak {m}}$ произвольно, отсюда следует $1+\dim R\geq \dim R[x]$. КЭД

Формула высоты Нагаты

Теорема — Пусть $R\subset R'$ быть целыми доменами, ${\mathfrak {p}}'\subset R'$ быть главным идеалом и ${\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {p}}'$. Если R — нётерово кольцо, то $$\dim R'_{{\mathfrak {p}}'}+\operatorname {tr.deg} _{R/{\mathfrak {p}}}{R'/{\mathfrak {p}}'}\leq \dim R_{\mathfrak {p}}+\operatorname {tr.deg} _{R}{R'}$$где равенство имеет место, если либо (а) R и универсально цепенарна R ' — порожденная R -алгебра, либо (б) R ' — кольцо полиномов над R. конечно

Доказательство: Сначала предположим $R'$ является многочленным кольцом. Индукцией по числу переменных достаточно рассмотреть случай $R'=R[x]$. Поскольку R ' плоско над R , $$\dim R'_{\mathfrak {p'}}=\dim R_{\mathfrak {p}}+\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}{R'}_{{\mathfrak {p}}'}.$$По лемме Нётер о нормализации второй член в правой части равен: $$\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg} _{R}R'-\operatorname {tr.deg} \kappa ({\mathfrak {p}}').$$Далее, предположим $R'$ генерируется одним элементом; таким образом, $R'=R[x]/I$. Если I = 0, то мы уже закончили. Предположим, нет. Затем $R'$ алгебраична над R , поэтому $\operatorname {tr.deg} _{R}R'=0$. Поскольку R является подкольцом R ' , $I\cap R=0$ и так $\operatorname {ht} I=\dim R[x]_{I}=\dim Q(R)[x]_{I}=1-\operatorname {tr.deg} _{Q(R)}\kappa (I)=1$с $\kappa (I)=Q(R')$ является алгебраическим над $Q(R)$. Позволять ${\mathfrak {p}}^{\prime c}$ обозначим прообраз в $R[x]$ из ${\mathfrak {p}}'$. Тогда, как $\kappa ({\mathfrak {p}}^{\prime c})=\kappa ({\mathfrak {p}})$, в полиномиальном случае $$\operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}/I}\leq \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}}-\operatorname {ht} {I}=\dim R_{\mathfrak {p}}-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}').$$Здесь обратите внимание, что неравенство является равенством, если R ' является цепным. Наконец, работая с цепочкой простых идеалов, общий случай несложно свести к описанному выше. КЭД

См. Также: Квазинесмешанное кольцо.

Гомологические методы

Обычные кольца

Пусть R — нётерово кольцо. Проективная размерность конечного R -модуля M — это кратчайшая длина любой проективной резольвенты M (возможно, бесконечной) и обозначается $\operatorname {pd} _{R}M$. Мы устанавливаем $\operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid {\text{M is a finite module}}\}$; называется глобальным измерением R это .

Предположим, что R локально с полем вычетов k .

Лемма — $\operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R$ (возможно, бесконечный).

Доказательство. Мы утверждаем: для любого конечного R -модуля M , $$\operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0.$$Путем сдвига размерности (см. доказательство теоремы Серра ниже) достаточно доказать это для $n=0$. Но тогда по критерию плоскостности локальному $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0.$Сейчас, $$\operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n,$$завершение доказательства. КЭД

Примечание . Доказательство также показывает, что $\operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1$ если M несвободен и $K$ является ядром некоторой сюръекции свободного модуля на M .

Лемма — Пусть $R_{1}=R/fR$, f ненолевой делитель R . Если f ненулевой делитель на M , то $$\operatorname {pd} _{R}M\geq \operatorname {pd} _{R_{1}}(M\otimes R_{1}).$$

Доказательство: если $\operatorname {pd} _{R}M=0$, то M является R -свободным и, следовательно, $M\otimes R_{1}$ является $R_{1}$-бесплатно. Далее предположим $\operatorname {pd} _{R}M>0$. Тогда у нас есть: $\operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1$ как в замечании выше. Таким образом, по индукции достаточно рассмотреть случай $\operatorname {pd} _{R}M=1$. Тогда есть проективное разрешение: $0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0$, что дает: $$\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0.$$Но $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M=\{m\in M\mid fm=0\}=0.$ Следовательно, $\operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})$ не более 1. QED

Теорема Серра — R регулярный $\Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.$

Доказательство: Если R регулярно, мы можем написать $k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})$, $f_{i}$ регулярная система параметров. Точная последовательность $0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0$, некоторые f в максимальном идеале конечных модулей, $\operatorname {pd} _{R}M<\infty$, дает нам: $$0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.$$Но здесь f равно нулю, поскольку оно убивает k . Таким образом, $\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)$ и, следовательно, $\operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M$. Используя это, мы получаем: $$\operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.$$Доказательство обратного проводится индукцией по $\dim R$. Начнем с индуктивного шага. Набор $R_{1}=R/f_{1}R$, $f_{1}$ среди системы параметров. Чтобы доказать регулярность R , достаточно показать $R_{1}$ является регулярным. Но, поскольку $\dim R_{1}<\dim R$, по индуктивному предположению и предыдущей лемме с $M={\mathfrak {m}}$, $$\operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim} R_{1}=\operatorname {pd} _{R_{1}}k\leq \operatorname {pd} _{R_{1}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.$$

Основной шаг остается. Предполагать $\dim R=0$. Мы утверждаем $\operatorname {gl.dim} R=0$ если оно конечно. (Это означало бы, что R — полупростое локальное кольцо , т. е. поле.) Если это не так, то существует некоторый конечный модуль $M$ с $0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty$ и, таким образом, фактически мы можем найти M с $\operatorname {pd} _{R}M=1$. По лемме Накаямы существует сюръекция $F\to M$ из свободного модуля F в M, ядро ​​которого K содержится в ${\mathfrak {m}}F$. С $\dim R=0$, максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ является ассоциированным простым числом R ; то есть, ${\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)$ для некоторых ненулевых s в R . С $K\subset {\mathfrak {m}}F$, $sK=0$. Поскольку K не равен нулю и свободен, отсюда следует $s=0$, что абсурдно. КЭД

Следствие . Регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации.

Доказательство. Пусть R — регулярное локальное кольцо. Затем $\operatorname {gr} R\simeq k[x_{1},\dots ,x_{d}]$, который является целозамкнутой областью. Это стандартное упражнение по алгебре, которое показывает, что из этого следует, что R — целозамкнутая область. Теперь нам нужно показать, что каждый дивизориальный идеал является главным; т. е. группа классов дивизоров R исчезает. Но, по Бурбаки, «Коммутативная алгебра», глава 7, §. 4. Следствие 2 предложения 16: дивизориальный идеал является главным, если он допускает конечную свободную резольвенту, что действительно имеет место по теореме. КЭД

Теорема . Пусть R — кольцо. Затем $$\operatorname {gl.dim} R[x_{1},\dots ,x_{n}]=\operatorname {gl.dim} R+n.$$

Глубина

Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. Последовательность элементов $x_{1},\dots ,x_{n}$ в $R$ называется М - регулярной последовательностью, если $x_{1}$ не является делителем нуля $M$ и $x_{i}$ не является делителем нуля $M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M$ для каждого $i=2,\dots ,n$. Априори неочевидно, является ли какая-либо перестановка регулярной последовательности регулярной (положительный ответ см. в разделе ниже).

Пусть R — локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ и положить $k=R/{\mathfrak {m}}$. Тогда по определению глубина конечного R -модуля M есть верхняя грань длин всех M -регулярных последовательностей в ${\mathfrak {m}}$. Например, у нас есть $\operatorname {depth} M=0\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}$ состоит из делителей нуля на M $\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}$ связан М. с По индукции находим $$\operatorname {depth} M\leq \dim R/{\mathfrak {p}}$$для любых связанных простых чисел ${\mathfrak {p}}$ М. ​ ​В частности, $\operatorname {depth} M\leq \dim M$. Если равенство справедливо для M = R , R называется кольцом Коэна–Маколея .

Пример : регулярное нетерово локальное кольцо Коэна – Маколея (поскольку регулярная система параметров представляет собой R -регулярную последовательность).

В общем, нётерово кольцо называется кольцом Коэна–Маколея, если локализации всех максимальных идеалов являются кольцами Коэна–Маколея. Заметим, что кольцо Коэна–Маколея является универсально цепным. Это означает, например, что кольцо полиномов $k[x_{1},\dots ,x_{d}]$ является универсально цепной, поскольку она регулярна и, следовательно, Коэна – Маколея.

Предложение   (Риса) . Пусть M — конечный R -модуль. Затем $\operatorname {depth} M=\sup\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i<n\}$.

В более общем смысле, для любого конечного R -модуля N , носитель которого в точности равен $\{{\mathfrak {m}}\}$, $$\operatorname {depth} M=\sup\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(N,M)=0,i<n\}.$$

докажем Доказательство. Сначала индукцией по n следующее утверждение: для любого R -модуля M и любой M -регулярной последовательности $x_{1},\dots ,x_{n}$ в ${\mathfrak {m}}$,

$$\operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M).$$ ( ⁎ )

Основной шаг n = 0 тривиален. Далее, по индуктивному предположению, $\operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n-1})M)$. Но последнее равно нулю, поскольку аннулятор числа N содержит некоторую степень $x_{n}$. Таким образом, из точной последовательности $0\to M{\overset {x_{1}}{\to }}M\to M_{1}\to 0$ и тот факт, что $x_{1}$ убивает N , снова используя индуктивную гипотезу, получаем $$\operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M/x_{1}M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M),$$доказательство ( ⁎ ). Теперь, если $n<\operatorname {depth} M$, то мы можем найти M -регулярную последовательность длины больше n и поэтому по ( ⁎ ) мы видим $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)=0$. Осталось показать $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\neq 0$ если $n=\operatorname {depth} M$. По ( ⁎ ) мы можем предположить n = 0. Тогда ${\mathfrak {m}}$ связан с М ; в поддержку М. таким образом , С другой стороны, ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Supp} (N).$ Из линейной алгебры следует, что существует ненулевой гомоморфизм из N в M по модулю ${\mathfrak {m}}$; следовательно, один от N до M по лемме Накаямы. КЭД

Формула Ауслендера-Бухсбаума связывает глубину и проективное измерение.

Теорема . Пусть M конечный модуль над нётеровым локальным кольцом R. — Если $\operatorname {pd} _{R}M<\infty$, затем $$\operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} M=\operatorname {depth} R.$$

Доказательство. Рассуждаем индукцией по $\operatorname {pd} _{R}M$, основной случай (т.е. M свободен) тривиален. По лемме Накаямы имеем точную последовательность $0\to K{\overset {f}{\to }}F\to M\to 0$ где F свободен и образ f содержится в ${\mathfrak {m}}F$. С $\operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,$ что нам нужно показать, это $\operatorname {depth} K=\operatorname {depth} M+1$.Поскольку f убивает k , точная последовательность дает: для i любого $$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\to 0.$$Обратите внимание, что самый левый член равен нулю, если $i<\operatorname {depth} R$. Если $i<\operatorname {depth} K-1$, то поскольку $\operatorname {depth} K\leq \operatorname {depth} R$ по индуктивному предположению мы видим $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.$ Если $i=\operatorname {depth} K-1$, затем $\operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0$ и это должно быть $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.$ КЭД

В качестве обозначений для любого R -модуля M положим $$\Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M\mid \operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M\mid {\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.$$Без труда можно увидеть, что $\Gamma _{\mathfrak {m}}$ является левым точным функтором, и тогда пусть $H_{\mathfrak {m}}^{j}=R^{j}\Gamma _{\mathfrak {m}}$ — его j -й правый производный функтор называемый локальными когомологиями R. , С $\Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)$через абстрактную ерунду, $$H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=\varinjlim \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M).$$Это наблюдение доказывает первую часть приведенной ниже теоремы.

Теорема   (Гротендик) — Пусть M — конечный R -модуль. Затем

1. $\operatorname {depth} \operatorname {M} =\sup\{n\mid H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i<n\}$.
2. $H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i>\dim M$ и $\neq 0$ если $i=\dim M.$
3. Если R полно и d — размерность Крулла, и если E — инъективная оболочка k его , то $$\operatorname {Hom} _{R}(H_{\mathfrak {m}}^{d}(-),E)$$ представим (представляющий объект иногда называют каноническим модулем, особенно если R является модулем Коэна – Маколея.)

Доказательство: 1. уже отмечено (за исключением того, что нужно показать неисчезновение на степени, равной глубине М ; используйте индукцию, чтобы увидеть это) и 3. является общим фактом по абстрактной чепухе. 2. является следствием явного вычисления локальных когомологий с помощью комплексов Кошуля (см. ниже). $\square$

Рубашка комплексная

Основная статья: Кошульский комплекс

Пусть R — кольцо, а x — его элемент. Формируем цепной комплекс K ( x ), заданный формулой $K(x)_{i}=R$ для i = 0, 1 и $K(x)_{i}=0$ для любого другого i с дифференциалом $$d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.$$ Тогда для любого R -модуля M мы получаем комплекс $K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M$ с дифференциалом $d\otimes 1$ и пусть $\operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))$ быть его гомологией. Примечание: $$\operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM,$$$$\operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M\mid xm=0\}.$$

В более общем смысле, учитывая конечную последовательность $x_{1},\dots ,x_{n}$ элементов кольца R образуем тензорное произведение комплексов : $$K(x_{1},\dots ,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})$$и пусть $\operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots ,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots ,x_{n},M))$ его гомология. Как и прежде, $$\operatorname {H} _{0}({\underline {x}},M)=M/(x_{1},\dots ,x_{n})M,$$$$\operatorname {H} _{n}({\underline {x}},M)=\operatorname {Ann} _{M}((x_{1},\dots ,x_{n})).$$

Теперь у нас есть гомологическая характеристика регулярной последовательности.

Теорема . Предположим, что R нётерово, M — конечный модуль над R и $x_{i}$ в радикале Джекобсона R находятся . Тогда следующие утверждения эквивалентны

1. ${\underline {x}}$ является M -регулярной последовательностью.
2. $\operatorname {H} _{i}({\underline {x}},M)=0,i\geq 1$.
3. $\operatorname {H} _{1}({\underline {x}},M)=0$.

Следствие — Последовательность $x_{i}$ - регулярна M тогда и только тогда, когда любая из ее перестановок такова.

Следствие — Если $x_{1},\dots ,x_{n}$ является M -регулярной последовательностью, то $x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j}$ также является M -регулярной последовательностью для каждого натурального числа j .

Комплекс Кошуля — мощный вычислительный инструмент. Например, из теоремы и следствия следует $$\operatorname {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(M)\simeq \varinjlim \operatorname {H} ^{i}(K(x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j};M))$$(Здесь используется самодуальность комплекса Кошуля; см. предложение 17.15 Эйзенбуда, Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию .)

Другим примером может быть

Теорема . Предположим, что R локально. Тогда пусть $$s=\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},$$размерность пространства Зарисского (часто называемая размерностью вложения R касательного ). Затем $${\binom {s}{i}}\leq \dim _{k}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(k,k).$$

Примечание . Эту теорему можно использовать для второго быстрого доказательства теоремы Серра о том, что R регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Действительно, по приведенной выше теореме $\operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)\neq 0$ и таким образом $\operatorname {gl.dim} R\geq s$. С другой стороны, как $\operatorname {gl.dim} R=\operatorname {pd} _{R}k$, формула Ауслендера–Бухсбаума дает $\operatorname {gl.dim} R=\dim R$. Следовательно, $\dim R\leq s\leq \operatorname {gl.dim} R=\dim R$.

Далее мы используем гомологии Кошуля для определения и изучения полных колец пересечений . Пусть R — нётерово локальное кольцо. По определению, первое отклонение R . - это размерность векторного пространства $$\epsilon _{1}(R)=\dim _{k}\operatorname {H} _{1}({\underline {x}})$$где ${\underline {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})$ представляет собой систему параметров. По определению, R является полным кольцом пересечений, если $\dim R+\epsilon _{1}(R)$ - размерность касательного пространства. (Геометрическое значение см. в Хартсхорне.)

Теорема : R является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда его алгебра Кошуля является внешней алгеброй .

Инъективная размерность и размеры Tor

Пусть R — кольцо. Инъективная размерность -модуля R обозначаемая M, через $\operatorname {id} _{R}M$ определяется так же, как проективная размерность: это минимальная длина инъективной резольвенты M . Позволять $\operatorname {Mod} _{R}$ — категория R -модулей.

Теорема . Для любого R кольца $${\begin{aligned}\operatorname {gl.dim} R\,&=\operatorname {sup} \{\operatorname {id} _{R}M\mid M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\\&=\inf\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}\end{aligned}}$$

Доказательство: предположим $\operatorname {gl.dim} R\leq n$. Пусть M — -модуль R и рассмотрим резольвенту $$0\to M\to I_{0}{\overset {\phi _{0}}{\to }}I_{1}\to \dots \to I_{n-1}{\overset {\phi _{n-1}}{\to }}N\to 0$$где $I_{i}$ являются инъективными модулями. Для любого идеала я , $$\operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/I,N)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{2}(R/I,\operatorname {ker} (\phi _{n-1}))\simeq \dots \simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,M),$$что равно нулю, поскольку $\operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,-)$ вычисляется с помощью проективного разрешения $R/I$. Таким образом, по Бэра критерию N инъективно. Мы заключаем, что $\sup\{\operatorname {id} _{R}M|M\}\leq n$. По сути, перевернув стрелки, можно доказать импликацию и другим способом. КЭД

Теорема предполагает, что мы рассматриваем своего рода двойственное глобальному измерению: $$\operatorname {w.gl.dim} =\inf\{n\mid \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}.$$Первоначально его называли слабым глобальным измерением R сегодня его чаще называют размером R. Tor - , но

Замечание: для любого R кольца $\operatorname {w.gl.dim} R\leq \operatorname {gl.dim} R$.

Предложение . Кольцо имеет слабую глобальную размерность нулевую тогда и только тогда, когда оно регулярно по фон Нейману .

Размеры некоммутативных колец

Пусть A — градуированная алгебра над полем k . Если V — конечномерное порождающее подпространство A , то положим $f(n)=\dim _{k}V^{n}$ а затем положить $$\operatorname {gk} (A)=\limsup _{n\to \infty }{\log f(n) \over \log n}.$$Она называется размерностью Гельфанда– A . Кириллова Это легко показать $\operatorname {gk} (A)$ не зависит от выбора V . Для градуированного правого (или левого) модуля M над A можно аналогичным образом определить размерность Гельфанда-Кириллова ${gk}(M)$ М. ​ ​

Пример : Если A конечномерно, то gk( A ) = 0. Если A — аффинное кольцо, то gk( A ) = размерность Крулла A .

Неравенство Бернштейна — см . [1]

Пример : Если $A_{n}=k[x_{1},...,x_{n},\partial _{1},...,\partial _{n}]$ является n-й алгеброй Вейля , то $\operatorname {gk} (A_{n})=2n.$

См. также

• Теория множественности
• Басовый номер
• Идеальный комплекс
• амплитуда

Ссылки

• Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-41068-7 , МР   1251956
• Часть II Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, вып. 150, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  0-387-94268-8 , МР   1322960 .
• Глава 10 Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8 .
• Капланский, Ирвинг , Коммутативные кольца , Аллин и Бэкон, 1970.
• Мацумура, Х. (1987). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Перевод М. Рида. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9781139171762 . ISBN  978-0-521-36764-6 .
• Серр, Жан-Пьер (1975), Локальная алгебра. Множественность , Курс Коллеж де Франс, 1957–1958, написанный Пьером Габриэлем. Третье издание, 1975 г. Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Вейбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета.