Функция Гильберта – Самуэля

В коммутативной алгебре функция Гильберта–Самуэля , названная в честь Дэвида Гильберта и Пьера Самуэля , ненулевого конечно порожденного модуля $M$ над коммутативным нетеровым локальным кольцом $A$ и главный идеал $I$ из $A$ это карта $\chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ такой, что для всех $n\in \mathbb {N}$,

$\chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)$

где $\ell$ обозначает длину более $A$. Это связано с функцией Гильберта соответствующего градуированного модуля. $\operatorname {gr} _{I}(M)$ по идентичности

$\chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).$

Для достаточно большого $n$, оно совпадает с полиномиальной функцией степени, равной $\dim(\operatorname {gr} _{I}(M))$, часто называемый полиномом Гильберта-Самуэля (или полиномом Гильберта ).

Примеры

Для кольца формальных степенных рядов двух переменных $k[[x,y]]$ взятый как модуль над собой и идеалом $I$ порожденный мономами x ² и й ³ у нас есть

$\chi (1)=6,\quad \chi (2)=18,\quad \chi (3)=36,\quad \chi (4)=60,{\text{ and in general }}\chi (n)=3n(n+1){\text{ for }}n\geq 0.$

Границы степени

В отличие от функции Гильберта, функция Гильберта–Самуэля не является аддитивной на точной последовательности. Однако оно все еще достаточно близко к аддитивному, как следствие леммы Артина – Риса . Обозначим через $P_{I,M}$ полином Гильберта-Самуэля; т. е. она совпадает с функцией Гильберта–Самуэля для больших целых чисел.

Теорема — Пусть $(R,m)$ — нётерово локальное кольцо, а I — m- примарный идеал . Если

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

является точной последовательностью конечно порожденных R -модулей и если $M/IM$ имеет конечную длину, тогда мы имеем:

$P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F$

где F — многочлен степени строго меньшей, чем у $P_{I,M'}$ и имеющий положительный ведущий коэффициент. В частности, если $M'\simeq M$, то степень $P_{I,M''}$ строго меньше, чем у $P_{I,M}=P_{I,M'}$.

Доказательство: тензоризация данной точной последовательности с помощью $R/I^{n}$ и вычисляя ядро, мы получаем точную последовательность:

$0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0,$

что дает нам:

$\chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')$.

Третий член справа можно оценить по Артину-Рису. Действительно, по лемме для больших n и k некоторых

$I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.$

Таким образом,

$\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)$.

Это дает желаемую степень ограничения.

Множественность

Если $A$ является локальным кольцом размерности Крулля $d$, с $m$-первичный идеал $I$, его полином Гильберта имеет старший член вида ${\frac {e}{d!}}\cdot n^{d}$ для некоторого целого числа $e$. Это целое число $e$ называется кратностью идеала $I$. Когда $I=m$ является максимальным идеалом $A$, еще говорят $e$ – кратность локального кольца $A$.

Кратность точки $x$ схемы $X$ определяется как кратность соответствующего локального кольца ${\mathcal {O}}_{X,x}$.

См. также

• j-кратность