Ряд Гильберта и полином Гильберта

В коммутативной алгебре функция Гильберта , полином Гильберта и ряд Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порожденной над полем, представляют собой три сильно связанных понятия, которые измеряют рост размерности однородных компонентов алгебры.

Эти понятия были распространены на фильтрованные алгебры и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами .

Типичными ситуациями, когда используются эти понятия, являются следующие:

Фактор по однородному идеалу многочленов многомерного кольца , градуированному по полной степени.
Факторное по идеалу многомерного кольца полиномов, отфильтрованное по полной степени.
Фильтрация локального кольца по степеням его максимального идеала . В этом случае полином Гильберта называется полиномом Гильберта – Самуэля .

Ряд Гильберта алгебры или модуля является частным случаем ряда Гильберта–Пуанкаре градуированного векторного пространства .

Полином Гильберта и ряды Гильберта важны в вычислительной алгебраической геометрии , поскольку они являются самым простым известным способом вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, определяемого явными полиномиальными уравнениями. Кроме того, они предоставляют полезные инварианты для семейств алгебраических многообразий, поскольку плоское семейство $\pi :X\to S$ имеет один и тот же полином Гильберта над любой замкнутой точкой $s\in S$ . Это используется при построении схемы Гильберта и схемы Quot .

Определения и основные свойства

Рассмотрим конечно порожденную градуированную коммутативную алгебру $S$ над полем $K$ , конечно порожденную элементами положительной степени. Это означает, что

S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}

и это $S_{0}=K$ .

Функция Гильберта

HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}

число $n$ в размерность $K$ -векторного пространства $Sn .$ отображает целое называется рядом Гильберта–Пуанкаре Ряд Гильберта, который в более общем контексте градуированных векторных пространств , представляет собой формальный ряд

HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.

Если $S$ порождается $h$ однородными элементами положительных степеней $d_{1},\ldots ,d_{h}$ , то сумма ряда Гильберта является рациональной дробью

HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},

где $Q$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Если $S$ порождается элементами степени 1, то сумму ряда Гильберта можно переписать как

HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},

где $P$ — многочлен с целыми коэффициентами, а $\delta$ является Крулля S $.$ размерностью

В этом случае разложение этой рациональной дроби в ряд равно

HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)

где

{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}

- биномиальный коэффициент для $n>-\delta ,$ и равно 0 в противном случае.

Если

P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},

коэффициент $t^{n}$ в $HS_{S}(t)$ таким образом

HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.

Для $n\geq i-\delta +1,$ член индекса $i$ в этой сумме является многочленом от $n$ степени $\delta -1$ с ведущим коэффициентом $a_{i}/(\delta -1)!.$ Это показывает, что существует единственный полином $HP_{S}(n)$ с рациональными коэффициентами, равными $HF_{S}(n)$ большой $достаточно$ . Этот многочлен является многочленом Гильберта и имеет вид

HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.

Наименьшее $n 0$ такое, что $HP_{S}(n)=HF_{S}(n)$ при $n \geq n0 .$ называется регулярностью Гильберта Оно может быть ниже, чем $\deg P-\delta +1$ .

Полином Гильберта является числовым многочленом , поскольку размерности являются целыми числами, но полином почти никогда не имеет целых коэффициентов ( Schenck 2003 , стр. 41).

Все эти определения могут быть распространены на конечно порожденные градуированные модули над $S$ с той лишь разницей, что фактор $t м$ появляется в ряду Гильберта, где $m$ — минимальная степень образующих модуля, которая может быть отрицательной.

Функция Гильберта , ряд Гильберта и полином Гильберта являются фильтрованной алгебры функциями соответствующей градуированной алгебры.

Полином Гильберта проективного многообразия $V$ в $P н$ определяется как полином Гильберта координатного кольца V $однородного$ .

Градуированная алгебра и кольца многочленов

Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам являются типичными градуированными алгебрами. Обратно, если $S$ — градуированная алгебра, порожденная над полем $K$ g $n$ однородными элементами $1, ..., g n$ степени 1, то отображение, которое переводит $X i$ в $g i,$ определяет гомоморфизм градуированных колец из $R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ на $С.$ Его ядром является однородный идеал $I$ , и это определяет изоморфизм градуированной алгебры между $R_{n}/I$ и $С.$

Таким образом, градуированные алгебры, порожденные элементами степени 1, в точности с точностью до изоморфизма являются факторами колец многочленов по однородным идеалам. Поэтому оставшаяся часть этой статьи будет ограничена факторами колец многочленов по идеалам.

Свойства рядов Гильберта

Аддитивность

Ряды Гильберта и полином Гильберта аддитивны относительно точных последовательностей . Точнее, если

0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0

представляет собой точную последовательность градуированных или фильтрованных модулей, то мы имеем

HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}

и

HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.

Это непосредственно следует из того же свойства размерности векторных пространств.

Частное по делителю, отличному от нуля

Пусть $A$ — градуированная алгебра и $f —$ однородный элемент степени $d$ в $A,$ не являющийся делителем нуля . Тогда у нас есть

HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.

Это следует из аддитивности на точной последовательности

0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,

где стрелка с надписью $f$ — это умножение на $f$ , а $A^{[d]}$ — это градуированный модуль, который получается из $A$ путем сдвига степеней на $d$ , чтобы умножение на $f$ имело степень 0. Это означает, что $HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.$

Ряд Гильберта и многочлен Гильберта кольца полиномов

Ряд Гильберта кольца полиномов $R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ в $n$ неопределенное это

HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.

Отсюда следует, что полином Гильберта

HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.

Доказательство того, что ряд Гильберта имеет этот простой вид, получается рекурсивным применением предыдущей формулы для фактора по ненулевому делителю (здесь $x_{n}$ ) и отметив, что $HS_{K}(t)=1\,.$

Форма и размерность ряда Гильберта

Градуированная алгебра $A$ , порожденная однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля нулевую, если максимальный однородный идеал, т. е. идеал, порожденный однородными элементами степени 1, нильпотентен . Это означает, что размерность $A$ как $K$ -векторного пространства конечна, а ряд Гильберта $A$ представляет собой полином $P (t)$ такой, что $P (1)$ равен размерности $A$ как $K$ -векторного пространства.

Если размерность Крулля $A$ положительна, существует однородный элемент $f$ первой степени, который не является делителем нуля (фактически почти все элементы первой степени обладают этим свойством). Размерность Крулля $A / (f)$ равна размерности Крулля $A$ минус один.

Аддитивность рядов Гильберта показывает, что $HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)$ . Повторяя это число раз, равное размерности Крулля $A$ , мы в конечном итоге получаем алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой является многочленом $P (t)$ . Это показывает, что ряд Гильберта $A$ равен

HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}

где многочлен $P (t)$ таков, что $P (1) \neq 0$ , а $d$ - размерность Крулла $A$ .

Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень многочлена Гильберта равна $d$ и что его старший коэффициент равен ${\frac {P(1)}{d!}}$ .

Степень проективного многообразия и теорема Безу

Ряд Гильберта позволяет нам вычислить степень алгебраического многообразия как значение числителя ряда Гильберта в единице. Это также дает довольно простое доказательство теоремы Безу .

Чтобы показать связь между степенью проективного алгебраического множества и рядом Гильберта, рассмотрим проективное алгебраическое множество $V$ , определенное как множество нулей однородного идеала. $I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , где $k$ — поле, и пусть $R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$ — кольцо регулярных функций на алгебраическом множестве.

В этом параграфе не нужны ни неприводимость алгебраических множеств, ни простота идеалов. Кроме того, поскольку ряды Гильберта не изменяются при расширении поля коэффициентов, поле $k$ без ограничения общности предполагается алгебраически замкнутым.

Размерность $d$ V $, а$ равна размерности Крулла минус одна из $R$ степень $V$ - это количество точек пересечения, подсчитанных с кратностью, $V$ с пересечением $d$ гиперплоскости в общем положении . Отсюда следует существование в $R$ регулярной последовательности $h_{0},\ldots ,h_{d}$ из $d + 1$ однородных многочленов первой степени. Из определения регулярной последовательности следует существование точных последовательностей.

0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,

для $k=0,\ldots ,d.$ Это означает, что

HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},

где $P(t)$ является числителем ряда Гильберта $R$ .

Кольцо $R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle$ имеет размерность Крулля один и является кольцом регулярных функций проективного алгебраического множества. $V_{0}$ размерности 0, состоящий из конечного числа точек, которые могут быть кратными. Как $h_{d}$ принадлежит регулярной последовательности, ни одна из этих точек не принадлежит гиперплоскости уравнения $h_{d}=0.$ Дополнением к этой гиперплоскости является аффинное пространство , содержащее $V_{0}.$ Это делает $V_{0}$ аффинное алгебраическое множество , имеющее $R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle$ как его кольцо регулярных функций. Линейный полином $h_{d}-1$ не является делителем нуля в $R_{1},$ и, таким образом, имеем точную последовательность

0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,

что подразумевает, что

HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).

Здесь мы используем ряды Гильберта фильтрованных алгебр и тот факт, что ряд Гильберта градуированной алгебры также является ее рядом Гильберта как фильтрованной алгебры.

Таким образом $R_{0}$ является артиновым кольцом , которое представляет собой $k$ -векторное пространство размерности $P (1)$ , и теорема Йордана–Гёльдера может использоваться для доказательства того, что $P (1)$ является степенью алгебраического множества $V$ . Фактически кратность точки — это количество вхождений соответствующего максимального идеала в композиционный ряд .

Для доказательства теоремы Безу можно действовать аналогично. Если $f$ — однородный полином степени $\delta$ , который не является делителем нуля в $R$ , точная последовательность

0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,

показывает, что

HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).

Глядя на числители, это доказывает следующее обобщение теоремы Безу:

Теорема . Если

f

— однородный многочлен степени

\delta

, который не является делителем нуля в

R

, то степень пересечения

V

с гиперповерхностью, определяемой формулой

f

является произведением степени

V

на

\delta .

В более геометрической форме это можно переформулировать так:

Теорема . Если проективная гиперповерхность степени

d

не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени

δ

, то степень их пересечения равна

dδ

.

Обычную теорему Безу легко вывести, начав с гиперповерхности и пересекая ее с $n - 1$ другими гиперповерхностями, одну за другой.

Полное пересечение

Проективное алгебраическое множество является полным пересечением , если его определяющий идеал порождается регулярной последовательностью . В этом случае существует простая явная формула ряда Гильберта.

Позволять $f_{1},\ldots ,f_{k}$ быть $k$ однородными полиномами от $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , соответствующих степеней $\delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.$ Параметр $R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,$ имеются следующие точные последовательности

0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.

Таким образом, из аддитивности рядов Гильберта следует

HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.

Простая рекурсия дает

HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.

Это показывает, что полное пересечение, определенное регулярной последовательностью $k$ многочленов, имеет коразмерность $k$ и что его степень является произведением степеней многочленов в последовательности.

Связь со свободными резолюциями

Каждый градуированный модуль $M$ над градуированным регулярным кольцом $R$ имеет градуированную свободную резольвенту согласно теореме о сизигиях Гильберта , что означает, что существует точная последовательность

0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,

где $L_{i}$ — градуированные свободные модули , а стрелки — градуированные линейные отображения нулевой степени.

Аддитивность рядов Гильберта означает, что

HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).

Если $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ является кольцом полиномов, и если известны степени базисных элементов кольца $L_{i},$ то формулы предыдущих разделов позволяют вывести $HS_{M}(t)$ от $HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.$ Фактически из этих формул следует, что если градуированный свободный модуль $L$ имеет базис из $h$ однородных элементов степеней $\delta _{1},\ldots ,\delta _{h},$ то его ряд Гильберта равен

HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.

Эти формулы можно рассматривать как способ вычисления рядов Гильберта. Это случается редко, так как в известных алгоритмах вычисление ряда Гильберта и вычисление свободного разрешения начинаются с одного и того же базиса Грёбнера , из которого ряд Гильберта может быть непосредственно вычислен с вычислительной сложностью , не превышающей чем то сложность вычисления свободного разрешения.

Вычисление ряда Гильберта и полинома Гильберта

Полином Гильберта легко выводится из ряда Гильберта (см. выше ). В этом разделе описывается, как можно вычислить ряд Гильберта в случае частного кольца многочленов, отфильтрованного или градуированного по полной степени.

Итак, пусть К — поле, $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ — кольцо многочленов, а — идеал в R. I Пусть H порожденный однородными частями высшей степени элементов I. — однородный идеал , Если I однороден, H = I. то Наконец, пусть B — базис Грёбнера I (однородный) идеал , для мономиального порядка, уточняющего полной степени частичный порядок , а G — порожденный ведущими мономами элементов B .

Вычисление ряда Гильберта основано на том факте, что фильтрованная алгебра R/I и градуированные алгебры R/H и R/G имеют один и тот же ряд Гильберта .

Таким образом, вычисление ряда Гильберта посредством вычисления базиса Грёбнера сводится к той же задаче для идеала, порожденного мономами, что обычно намного проще, чем вычисление базиса Грёбнера. Вычислительная сложность всего вычисления зависит главным образом от регулярности, которой является степень числителя ряда Гильберта. Фактически базис Грёбнера можно вычислить с помощью линейной алгебры над многочленами степени, ограниченной регулярностью.

Вычисление рядов Гильберта и полиномов Гильберта доступно в большинстве систем компьютерной алгебры . Например, и в Maple , и в Magma эти функции называются HilbertSeries и HilbertPolynomial .

Обобщение на когерентные пучки

В алгебраической геометрии градуированные кольца, порожденные элементами степени 1, создают проективные схемы с помощью конструкции Проя, тогда как конечно порожденные градуированные модули соответствуют когерентным пучкам. Если ${\mathcal {F}}$ является когерентным пучком над проективной схемой X , определим полином Гильберта схемы ${\mathcal {F}}$ как функция $p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))$ , где χ — эйлерова характеристика когерентного пучка, а ${\mathcal {F}}(m)$ поворот Серра . Эйлерова характеристика в этом случае является четко определенным числом по теореме Гротендика о конечности .

Эта функция действительно является полиномом. ^[1] Для больших m это согласуется с dim $H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))$ по теореме об исчезновении Серра . Если M — конечно порожденный градуированный модуль и ${\tilde {M}}$ с соответствующим когерентным пучком оба определения полинома Гильберта согласуются.

Градуированные свободные разрешения

Поскольку категория когерентных пучков на проективном многообразии $X$ эквивалентна категории градуированных модулей по модулю конечного числа градуированных частей, мы можем использовать результаты предыдущего раздела для построения полиномов Гильберта когерентных пучков. Например, полное пересечение $X$ многостепенной $(d_{1},d_{2})$ имеет резолюцию