Схема котировок

В алгебраической геометрии схема Quot — это схема, параметризующая пучки на проективной схеме . Более конкретно, если X — проективная схема над нетеровой схемой S и если F — когерентный пучок на X , то существует схема $\operatorname {Quot} _{F}(X)$ чей набор T -точек $\operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))$ — множество классов частных изоморфизма $F\times _{S}T$ которые плоские над T . Это понятие было введено Александром Гротендиком . ^[1]

Обычно он используется для построения другой схемы параметризации геометрических объектов, представляющих интерес, например схемы Гильберта . (Фактически, взяв F за структурный пучок ${\mathcal {O}}_{X}$ дает схему Гильберта.)

Определение [ править ]

Для схемы конечного типа $X\to S$ по нетеровской базовой схеме $S$ , и когерентный пучок ${\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)$ , существует функтор ^[2]^[3]

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}$

отправка $T\to S$ к

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{finitely presented over}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim$

где $X_{T}=X\times _{S}T$ и ${\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}$ под проекцией $pr_{X}:X_{T}\to X$ . Существует отношение эквивалентности, определяемое формулой $({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')$ если существует изоморфизм ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}''$ коммутируя с двумя проекциями $q,q'$ ; то есть,

${\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}$

является коммутативной диаграммой для ${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ . В качестве альтернативы существует эквивалентное условие удержания ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ . Это называется функтором quot , который естественным образом расслояется на непересекающееся объединение подфункторов, каждый из которых представлен проективным $S$ -схема, называемая схемой quot, связанная с полиномом Гильберта $\Phi$ .

Полином Гильберта [ править ]

Для относительно очень обширного линейного пакета ${\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)$ ^[4] и любая закрытая точка $s\in S$ есть функция $\Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ отправка

$m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})$

который является многочленом для $m>>0$ . Это называется полиномом Гильберта , который дает естественную стратификацию функтора quot. Опять же, для ${\mathcal {L}}$ исправлено непересекающееся объединение подфункторов

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [t]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}$

где

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}$

Полином Гильберта $\Phi _{\mathcal {F}}$ является полиномом Гильберта ${\mathcal {F}}_{t}$ для закрытых точек $t\in T$ . Обратите внимание, что полином Гильберта не зависит от выбора очень обильного линейного расслоения. ${\mathcal {L}}$ .

Гротендика Теорема существования

Это теорема Гротендика о том, что функторы ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}$ все представимы проективными схемами ${\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }$ над $S$ .

Примеры [ править ]

Grassmannian[editГрассманиан

Грассманиан $G(n,k)$ из $k$ -самолеты в $n$ -мерное векторное пространство имеет универсальный фактор

${\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}$

где ${\mathcal {U}}_{x}$ это $k$ -плоскость, представленная $x\in G(n,k)$ . С ${\mathcal {U}}$ локально свободен и в каждой точке представляет собой $k$ -плоскость, она имеет постоянный полином Гильберта $\Phi (\lambda )=k$ . Это показывает $G(n,k)$ представляет функтор quot

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}$

Проективное пространство [ править ]

В частном случае мы можем построить пространство проекта $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ как схема quot

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}$

для снопа ${\mathcal {E}}$ на $S$ -схема $X$ .

Схема Гильберта [ править ]

Схема Гильберта представляет собой частный пример схемы «кот». Обратите внимание на подсхему $Z\subset X$ можно представить в виде проекции

${\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}$

и плоское семейство таких проекций, параметризованное схемой $T\in Sch/S$ может быть предоставлено

${\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}$

Поскольку существует полином Гильберта, связанный с $Z$ , обозначенный $\Phi _{Z}$ , существует изоморфизм схем

${\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}$

Пример параметризации [ править ]

Если $X=\mathbb {P} _{k}^{n}$ и $S={\text{Spec}}(k)$ для алгебраически замкнутого поля, то ненулевое сечение $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))$ имеет исчезающий локус $Z=Z(s)$ с полиномом Гильберта

$\Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}$

Тогда есть сюръекция

${\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}$

с ядром ${\mathcal {O}}(-d)$ . С $s$ было произвольным ненулевым сечением, а исчезающее место $a\cdot s$ для $a\in k^{*}$ дает то же самое исчезающее множество, схема $Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$ дает естественную параметризацию всех таких разделов. Есть сноп ${\mathcal {E}}$ на $X\times Q$ такой, что для любого $[s]\in Q$ , существует связанная подсхема $Z\subset X$ и сюръекция ${\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}$ . Эта конструкция представляет собой функтор quot

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}$

Квадрики в проективной плоскости [ править ]

Если $X=\mathbb {P} ^{2}$ и $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))$ , полином Гильберта

${\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}$

и

${\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}$

Универсальный коэффициент по $\mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}$ дается

${\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}$

где волокно над точкой $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ дает проективный морфизм

${\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}$

Например, если $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ представляет собой коэффициенты

$f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}$

тогда универсальное частное по $[Z]$ дает короткую точную последовательность

$0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0$

Полустабильные векторные расслоения на кривой [ править ]

Полустабильные векторные расслоения на кривой $C$ рода $g$ эквивалентно могут быть описаны как локально свободные пучки конечного ранга. Такие локально свободные пучки ${\mathcal {F}}$ ранга $n$ и степень $d$ иметь свойства ^[5]

$H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0$
${\mathcal {F}}$ генерируется глобальными разделами

для $d>n(2g-1)$ . Это означает, что существует сюръекция

$H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}$

Тогда схема quot ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ параметризует все такие сюръекции. Используя теорему Гротендика–Римана–Роха, размерность $N$ равно

$\chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)$

Для пакета фиксированной связи ${\mathcal {L}}$ степени $1$ есть скручивание ${\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}$ , сдвигая степень на $nm$ , так

$\chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)$ ^[5]

давая полином Гильберта

$\Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)$

Тогда геометрическое место полустабильных векторных расслоений содержится в

${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}$

который можно использовать для построения пространства модулей ${\mathcal {M}}_{C}(n,d)$ полустабильных векторных расслоений с использованием фактора GIT . ^[5]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гротендик, Александр. Техника построения и теоремы существования в алгебраической геометрии IV: схемы Гильберта. Семинар Бурбаки: 1960/61 годы, лекции 205-222, Семинар Бурбаки, вып. 6 (1961), Разговор №. 221, с. 249-276
^ Ницуре, Нитин (2005). «Построение схем Гильберта и Котировок». Фундаментальная алгебраическая геометрия: объяснение FGA Гротендика . Математические обзоры и монографии. Том. 123. Американское математическое общество. стр. 105–137. arXiv : math/0504590 . ISBN 978-0-8218-4245-4 .
^ Альтман, Аллен Б.; Клейман, Стивен Л. (1980). «Уплотнение схемы Пикара» . Достижения в математике . 35 (1): 50–112. дои : 10.1016/0001-8708(80)90043-2 . ISSN 0001-8708 .
^ Значение основы $s_{i}$ для глобальных разделов $\Gamma (X,{\mathcal {L}})$ определяет вложение $\mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}$ для $N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))$
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хоскинс, Виктория. «Проблемы модулей и геометрическая теория инвариантов» (PDF) . стр. 68, 74–85. Архивировано (PDF) из оригинала 1 марта 2020 года.

Дальнейшее чтение [ править ]

[1] Гротендик, Александр. Техника построения и теоремы существования в алгебраической геометрии IV: схемы Гильберта. Семинар Бурбаки: 1960/61 годы, лекции 205-222, Семинар Бурбаки, вып. 6 (1961), Разговор №. 221, с. 249-276

[2] Ницуре, Нитин (2005). «Построение схем Гильберта и Котировок». Фундаментальная алгебраическая геометрия: объяснение FGA Гротендика . Математические обзоры и монографии. Том. 123. Американское математическое общество. стр. 105–137. arXiv : math/0504590 . ISBN 978-0-8218-4245-4 .

[3] Альтман, Аллен Б.; Клейман, Стивен Л. (1980). «Уплотнение схемы Пикара» . Достижения в математике . 35 (1): 50–112. дои : 10.1016/0001-8708(80)90043-2 . ISSN 0001-8708 .

[4] Значение основы $s_{i}$ для глобальных разделов $\Gamma (X,{\mathcal {L}})$ определяет вложение $\mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}$ для $N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))$

[:0-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хоскинс, Виктория. «Проблемы модулей и геометрическая теория инвариантов» (PDF) . стр. 68, 74–85. Архивировано (PDF) из оригинала 1 марта 2020 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]