Стабильное векторное расслоение

В математике — стабильное векторное расслоение это ( голоморфное или алгебраическое ) векторное расслоение , устойчивое в смысле геометрической теории инвариантов . Любое голоморфное векторное расслоение можно построить из стабильных с помощью фильтрации Хардера – Нарасимхана . Стабильные расслоения были определены Дэвидом Мамфордом в Мамфорде (1963), а затем развиты Дэвидом Гизекером , Федором Богомоловым , Томасом Бриджлендом и многими другими.

Мотивация

Одной из причин анализа стабильных векторных расслоений является их хорошее поведение в семьях. Фактически, пространства модулей стабильных векторных расслоений во многих случаях можно построить с использованием схемы Quot , тогда как стек векторных расслоений $\mathbf {B} GL_{n}$ представляет собой стек Артина , базовым множеством которого является одна точка.

Вот пример семейства векторных расслоений, которые плохо вырождаются. Если мы тензорируем Эйлера последовательность $\mathbb {P} ^{1}$ к ${\mathcal {O}}(1)$ есть точная последовательность

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$ ^[1]

который представляет ненулевой элемент $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ^[2] поскольку тривиальная точная последовательность, представляющая $0$ вектор

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

Если мы рассмотрим семейство векторных расслоений $E_{t}$ в расширении от $t\cdot v$ для $t\in \mathbb {A} ^{1}$ , существуют короткие точные последовательности

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

которые имеют классы Черна $c_{1}=0,c_{2}=0$ в общем, но есть $c_{1}=0,c_{2}=-1$ в начале. Такого рода скачков числовых инвариантов не происходит в пространствах модулей устойчивых векторных расслоений. ^[3]

Стабильные векторные расслоения над кривыми

Наклон ) / голоморфного векторного расслоения W над неособой алгебраической кривой (или над римановой поверхностью ) называется рациональным числом µ(W) = deg( W rank( W ). Расслоение W стабильно когда тогда и только тогда,

\mu (V)<\mu (W)

для всех собственных ненулевых подрасслоений V из W и является полустабильным , если

\mu (V)\leq \mu (W)

для всех собственных ненулевых подрасслоений V множества W . Неформально это говорит о том, что пучок стабилен, если он «более обилен », чем любой правильный подпучок, и нестабилен, если он содержит «более обильный» подпучок.

Если W и V — полустабильные векторные расслоения и µ(W) > µ(V) , то не существует ненулевых отображений W → V .

Мамфорд доказал, что пространство модулей стабильных расслоений заданного ранга и степени над неособой кривой является квазипроективным алгебраическим многообразием . Когомологии с использованием стабильных пространства модулей векторных расслоений над кривой были описаны Хардером и Нарасимханом (1975) алгебраической геометрии над конечными полями , а Атьей и Боттом (1983) с использованием подхода Нарасимхана-Сешадри .

Стабильные векторные расслоения в более высоких измерениях

Если X — гладкое проективное многообразие размерности m и H — гиперплоское сечение , то векторное расслоение (или пучок без кручения ) W называется стабильным (или иногда по Гизекеру стабильным ), если

{\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}

для всех собственных ненулевых подрасслоений (или подпучков) V из W , где χ обозначает эйлерову характеристику алгебраического векторного расслоения, а векторное расслоение V(nH) означает n -е скручивание V помощью с H . W называется полустабильным, если вышеизложенное справедливо с заменой < на ≤.

Устойчивость склона

Для расслоений на кривых устойчивость, определяемая наклонами и ростом полинома Гильберта, совпадают. В более высоких измерениях эти два понятия различны и имеют разные преимущества. Устойчивость Гизекера имеет интерпретацию в терминах геометрической теории инвариантов , в то время как μ-стабильность имеет лучшие свойства для тензорных произведений , откатов и т. д.

Пусть X — гладкое проективное многообразие размерности n , H — его гиперплоское сечение . Наклон без векторного расслоения (или, в более общем смысле, кручения когерентного пучка ) E относительно H — это рациональное число, определяемое как

\mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}

где c ₁ — первый класс Черна . Зависимость от H часто в обозначениях опускают.

Когерентный пучок без кручения E называется µ-полустабильным, если для любого ненулевого подпучка F ⊆ E наклоны удовлетворяют неравенству µ(F) ⩽ µ(E). Он µ-стабилен , если, кроме того, для любого ненулевого подпучка F ⊆ E меньшего ранга выполняется строгое неравенство µ(F) < µ(E). Это понятие устойчивости можно назвать устойчивостью на склоне, μ-стабильностью, иногда устойчивостью Мамфорда или устойчивостью Такемото.

Для векторного расслоения E справедлива следующая цепочка импликаций: E µ-стабильно ⇒ E стабильно ⇒ E полустабильно ⇒ E µ-полустабильно.

Фильтрация Хардера-Нарасимхана

Пусть E векторное расслоение над гладкой проективной кривой X. — Тогда существует единственная фильтрация по подрасслоениям

0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E

такие, что ассоциированные градуированные компоненты F _i := E _{i +1} / E _i являются полустабильными векторными расслоениями и наклоны уменьшаются, µ( F _i ) > µ( F _{i +1} ). Эта фильтрация была введена Хардером и Нарасимханом (1975) и называется фильтрацией Хардера-Нарасимхана . Два векторных расслоения с изоморфными ассоциированными градуировками называются S-эквивалентными .

В многообразиях более высокой размерности фильтрация также всегда существует и уникальна, но соответствующие градуированные компоненты больше не могут быть расслоениями. Для устойчивости Гизекера неравенства между наклонами следует заменить неравенствами между полиномами Гильберта.

Переписка Кобаяши-Хитчина

Теорема Нарасимхана-Сешадри утверждает, что стабильные расслоения на проективной неособой кривой такие же, как и те, которые имеют проективно плоские унитарные неприводимые связности . Для расслоений степени 0 проективно плоские связности являются плоскими и, следовательно, устойчивые расслоения степени 0 соответствуют неприводимым унитарным представлениям фундаментальной группы .

Кобаяши и Хитчин предположили аналог этого в более высоких измерениях. Для проективных неособых поверхностей это было доказано Дональдсоном (1985) , который показал, что в этом случае векторное расслоение стабильно тогда и только тогда, когда оно имеет неприводимую связность Эрмита–Эйнштейна .

Обобщения

Можно обобщить (μ-)стабильность на негладкие проективные схемы и более общие когерентные пучки, используя полином Гильберта . Пусть X — проективная схема , d — натуральное число, E — когерентный пучок на X с dim Supp( E ) = d . Запишите полином Гильберта E как P _E ( m ) = Σ ^д
_{я знак равно 0} α _я ( E )/( я !) м ^я. Определим приведенный полином Гильберта p _E := P _E /α _d ( E ).

Когерентный пучок E полустабилен , если выполняются следующие два условия: ^[4]

E имеет размерность d , т.е. все ассоциированные с ним простые числа имеют размерность d ;
для любого собственного ненулевого подпучка F ⊆ E приведенные полиномы Гильберта удовлетворяют условию p _F ( m ) ⩽ p _E ( m ) для больших m .

Пучок называется устойчивым выполняется строгое неравенство p _F ( m ) < p _E ( m , если при больших m ) .

Пусть Coh _d (X) — полная подкатегория когерентных пучков на X с носителем размерности ≤ d . Наклон может быть объекта F в Coh _d определен с использованием коэффициентов полинома Гильберта как ${\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)$ если α _d ( F ) ≠ 0 и 0 в противном случае. Зависимость ${\hat {\mu }}_{d}$ на d обычно в обозначениях опускают.

Когерентный пучок E с $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ называется µ-полустабильным, если выполняются следующие два условия: ^[5]

кручение E имеет размерность ≤ d -2;
для любого ненулевого подобъекта F ⊆ E в фактор-категории Coh _d (X)/Coh _d-1 (X) имеем ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$ .

E является µ-стабильным , если строгое неравенство выполняется для всех собственных ненулевых подобъектов E .

Обратите внимание, что Coh _d является подкатегорией Серра для любого d , поэтому фактор-категория существует. Подобъект в фактор-категории вообще не происходит из подпучка, но для пучков без кручения исходное определение и общее для d = n эквивалентны.

Существуют и другие направления для обобщений, например Бриджленда условия устойчивости .

можно определить Стабильные главные расслоения аналогично стабильным векторным расслоениям.

См. также

Ссылки

^ Примечание $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ из формулы присоединения на каноническом пучке.
^ Поскольку существуют изоморфизмы ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$
^ Фальтингс, Герд. «Векторные расслоения на кривых» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2020 года.
^ Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.2.4
^ Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.6.9

Атья, Майкл Фрэнсис ; Ботт, Рауль (1983), «Уравнения Янга-Миллса над римановыми поверхностями», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 308 (1505): 523–615, doi : 10.1098/rsta.1983.0017 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 37156 , MR 0702806
Дональдсон, С.К. (1985), «Антисамодуальные связи Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильными векторными расслоениями», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 50 (1): 1–26, doi : 10.1112/plms /с3-50.1.1 , ISSN 0024-6115 , МР 0765366
Фридман, Роберт (1998), Алгебраические поверхности и голоморфные векторные расслоения , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5 , МР 1600388
Хардер, Г.; Нарасимхан, М.С. (1975), «О группах когомологий пространств модулей векторных расслоений на кривых», Mathematische Annalen , 212 (3): 215–248, doi : 10.1007/BF01357141 , ISSN 0025-5831 , MR 0364254
Хайбрехтс, Даниэль ; Лен, Манфред (2010), Геометрия пространств модулей пучков , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0521134200
Мамфорд, Дэвид (1963), «Проективные инварианты проективных структур и приложений», Proc. Интерн. Конгресс Математики (Стокгольм, 1962) , Дюрсхольм: Ин-т. Миттаг-Леффлер, стр. 526–530, MR 0175899.
Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , Результаты по математике и смежным областям (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)], том. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3 , MR 1304906 , особенно приложение 5С.
Нарасимхан, MS; Сешадри, CS (1965), «Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности», Анналы математики , вторая серия, 82 (3), Анналы математики, Vol. 82, № 3: 540–567, doi : 10.2307/1970710 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970710 , MR 0184252

[1] Примечание $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ из формулы присоединения на каноническом пучке.

[2] Поскольку существуют изоморфизмы ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$

[3] Фальтингс, Герд. «Векторные расслоения на кривых» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2020 года.

[4] Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.2.4

[5] Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.6.9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]