Связанное градуированное кольцо

В математике кольца ассоциированное градуированное кольцо R относительно : собственного идеала I называется кольцом градуированным

$\operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$.

Аналогично, если M — левый R -модуль, то ассоциированный градуированный модуль — это градуированный модуль над $\operatorname {gr} _{I}R$:

$\operatorname {gr} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M$.

Основные определения и свойства

Для кольца R и идеала I умножение в $\operatorname {gr} _{I}R$ определяется следующим образом: сначала рассмотрим однородные элементы $a\in I^{i}/I^{i+1}$ и $b\in I^{j}/I^{j+1}$ и предположим $a'\in I^{i}$ представителем и является $b'\in I^{j}$ является представителем Б. компании Затем определите $ab$ быть классом эквивалентности $a'b'$ в $I^{i+j}/I^{i+j+1}$. Обратите внимание, что это четко определено по модулю $I^{i+j+1}$. Умножение неоднородных элементов определяется с помощью дистрибутивного свойства.

Кольцо или модуль могут быть связаны со связанным с ним градуированным кольцом или модулем посредством карты начальной формы . Пусть M — R -модуль, а I — идеал R . Данный $f\in M$, форма f в начальная $\operatorname {gr} _{I}M$, написано $\mathrm {in} (f)$, — класс эквивалентности f в $I^{m}M/I^{m+1}M$ где m — максимальное целое число такое, что $f\in I^{m}M$. Если $f\in I^{m}M$ для каждого m , затем установите $\mathrm {in} (f)=0$. Отображение исходной формы является лишь отображением множеств и, вообще говоря, не является гомоморфизмом . Для субмодуля $N\subset M$, $\mathrm {in} (N)$ определяется как подмодуль $\operatorname {gr} _{I}M$ созданный $\{\mathrm {in} (f)|f\in N\}$. Это может не совпадать с субмодулем $\operatorname {gr} _{I}M$ порожденный единственными начальными формами образующих N .

Кольцо наследует некоторые «хорошие» свойства от связанного с ним градуированного кольца. Например, если R — нётерово локальное кольцо и $\operatorname {gr} _{I}R$ является областью целостности , то R сам является областью целостности.

gr фактормодуля

Позволять $N\subset M$ — левые модули над кольцом R , а I — идеал R. кольца С

${I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}$

(последнее равенство по модульному закону ), имеется каноническое отождествление:

$\operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)$

где

$\operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},$

называется подмодулем, порожденным начальными формами элементов $N$.

Примеры

Пусть U — универсальная обертывающая алгебра Ли. ${\mathfrak {g}}$ над полем k ; он фильтруется по степени. Из теоремы Пуанкаре –Биркгофа–Витта следует, что $\operatorname {gr} U$ является кольцом полиномов; по сути это координатное кольцо $k[{\mathfrak {g}}^{*}]$.

Соответствующая градуированная алгебра алгебры Клиффорда является внешней алгеброй; т. е. алгебра Клиффорда вырождается во внешнюю алгебру .

Обобщение на мультипликативные фильтрации.

Соответствующая градуировка также может быть определена в более общем смысле для мультипликативных нисходящих фильтраций R фильтрованное (см. также кольцо ). Пусть F — нисходящая цепочка идеалов вида

$R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb$

такой, что $I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}$. Градуированное кольцо, связанное с этой фильтрацией, имеет вид $\operatorname {gr} _{F}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}$. Умножение и карта начальной формы определяются, как указано выше.

См. также

• Оценка (математика)
• Алгебра Риса

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN  0-387-94268-8 . МР   1322960 .
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Перевод с японского М. Рида (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36764-6 . МР   1011461 .
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90171-8 , МР   0389876