Стабильный основной пакет

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , стабильное главное расслоение является обобщением понятия стабильного векторного расслоения на случай главных расслоений . Понятие устойчивости главных расслоений было введено Аннамалаем Раманатаном с целью определения пространства модулей G-главных расслоений над римановой поверхностью , что является обобщением более ранних работ Дэвида Мамфорда и других по пространствам модулей векторных расслоений. ^[1]^[2]^[3]

Многие утверждения об устойчивости векторных расслоений можно перевести на язык стабильных главных расслоений. Например, было показано, что аналог соответствия Кобаяши–Хитчина для главных расслоений, согласно которому голоморфное главное расслоение над компактным кэлеровым многообразием допускает связность Эрмита–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно полистабильно, верен в случае проективных многообразий. по Субраманиану и Раманатану, а для произвольных компактных кэлеровых многообразий — по Аншушу и Бисвасу . ^[4]^[5]

Определение

Основное определение устойчивости главных расслоений было дано Раманатаном, но применимо только к случаю римановых поверхностей. ^[2] В этом разделе мы формулируем определение, появившееся в работе Аншуша и Бисваса, которое справедливо для любого кэлерова многообразия и действительно имеет более общий смысл для алгебраических многообразий . ^[5] Это сводится к определению Раманатана в случае, когда многообразие является римановой поверхностью.

Позволять $G$ — связная редуктивная алгебраическая группа над комплексными числами $\mathbb {C}$ . Позволять $(X,\omega )$ — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности $n$ . Предполагать $P\to X$ является голоморфным принципалом $G$ -связывать $X$ . Голоморфность здесь означает, что функции перехода для $P$ изменяются голоморфно, что имеет смысл, поскольку структурная группа является комплексной группой Ли . Основной пакет $P$ называется стабильным (соответственно полустабильным ), если для любой редукции структурной группы $\sigma :U\to P/Q$ для $Q\subset G$ максимальная параболическая подгруппа , где $U\subset X$ — некоторое открытое подмножество с коразмерностью $\operatorname {codim} (X\backslash U)\geq 2$ , у нас есть

\deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q>0\quad ({\text{resp. }}\geq 0).

Здесь $T_{\operatorname {rel} }P/Q$ - относительное касательное расслоение расслоения $\left.P/Q\right|_{U}\to U$ иначе известный как пучок вертикальный $T(\left.P/Q\right|_{U})$ . Напомним, что степень ( векторного расслоения или когерентного пучка ) $F\to X$ определяется как

\operatorname {deg} (F):=\int _{X}c_{1}(F)\wedge \omega ^{n-1},

где $c_{1}(F)$ это первый Черна класс $F$ . В приведенной выше настройке степень вычисляется для пакета, определенного $U$ внутри $X$ , но поскольку коразмерность дополнения $U$ больше двух, значение интеграла будет совпадать с этим по всем $X$ .

Обратите внимание, что в случае, когда $\dim X=1$ , вот где $X$ является римановой поверхностью по предположению о коразмерности $U$ мы должны иметь это $U=X$ , поэтому достаточно рассмотреть редукции структурной группы по всей совокупности $X$ , $\sigma :X\to P/Q$ .

Связь с устойчивостью векторных расслоений

Учитывая принципал $G$ -расслоение для комплексной группы Ли $G$ с ним можно связать несколько естественных векторных расслоений.

Во-первых, если $G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ , общая линейная группа , то стандартное представление $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ на $\mathbb {C} ^{n}$ позволяет построить связанный пакет $E=P\times _{\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}$ . Это голоморфное векторное расслоение над $X$ , а приведенное выше определение устойчивости главного расслоения эквивалентно наклонной устойчивости $E$ . Существенным моментом является то, что максимальная параболическая подгруппа $Q\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ соответствует выбору флага $0\subset W\subset \mathbb {C} ^{n}$ , где $W$ инвариантен относительно подгруппы $Q$ . Поскольку структурная группа $P$ был сокращен до $Q$ , и $Q$ сохраняет векторное подпространство $W\subset \mathbb {C} ^{n}$ , можно взять соответствующий пучок $F=P\times _{Q}W$ , который является подпакетом $E$ над подмножеством $U\subset X$ на котором определена редукция структурной группы и, следовательно, подпучок $E$ над всем $X$ . Тогда можно вычислить, что

\deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q=\mu (E)-\mu (F)

где $\mu$ обозначает наклон векторных расслоений.

Когда структурная группа не $G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ все еще существует естественное ассоциированное векторное расслоение для $P$ , присоединенное расслоение $\operatorname {ad} P$ , со слоем, заданным алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ . Основной пакет $P$ полустабильно тогда и только тогда, когда присоединенное расслоение $\operatorname {ad} P$ является наклонно-полустабильным, и, кроме того, если $P$ стабильна, то $\operatorname {ad} P$ является склоновой полистабильной. ^[5] И снова ключевым моментом здесь является то, что для параболической подгруппы $Q\subset G$ , получаем параболическую подалгебру ${\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {g}}$ и может взять соответствующий подпакет. В этом случае следует проявлять большую осторожность, поскольку представление присоединенное $G$ на ${\mathfrak {g}}$ не всегда является точным или неприводимым , причем последнее условие намекает на то, почему стабильность основного расслоения приводит только к полистабильности присоединенного расслоения (поскольку представление, которое распадается как прямая сумма, привело бы к расщеплению соответствующего расслоения как прямая сумма).

Обобщения

Точно так же, как можно обобщить векторное расслоение до понятия расслоения Хиггса , можно сформулировать определение главного $G$ - Пучок Хиггса. Приведенное выше определение устойчивости главных расслоений обобщается на эти объекты, требуя, чтобы редукции структурной группы были совместимы с полем Хиггса главного расслоения Хиггса. Аншуш и Бисвас показали, что аналог неабелева соответствия Ходжа для векторных расслоений Хиггса верен для главных $G$ -Пучки Хиггса в случае, когда базовое многообразие $(X,\omega )$ является сложным проективным многообразием . ^[5]

Ссылки

^ Раманатан, А., 1975. Стабильные главные расслоения на компактной римановой поверхности. Mathematische Annalen, 213(2), стр.129-152.
^ Jump up to: ^а ^б Раманатан А., август 1996 г. Модули главных расслоений над алгебраическими кривыми: I. В трудах Индийской академии математических наук (т. 106, № 3, стр. 301–328). Спрингер Индия.
^ Раманатан, А., 1996, ноябрь. Модули главных расслоений над алгебраическими кривыми: II. В трудах Индийской академии математических наук (том 106, № 4, стр. 421–449). Спрингер Индия.
^ Субраманиан С. и Раманатан А., 1988. Связности Эйнштейна-Эрмитова на главных расслоениях и устойчивости.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Аншуш Б. и Бисвас И., 2001. Связности Эйнштейна-Эрмитова на полистабильных главных расслоениях над компактным кэлеровым многообразием. Американский журнал математики, 123 (2), стр. 207–228.

[1] Раманатан, А., 1975. Стабильные главные расслоения на компактной римановой поверхности. Mathematische Annalen, 213(2), стр.129-152.

[ram1-2] Jump up to: ^а ^б Раманатан А., август 1996 г. Модули главных расслоений над алгебраическими кривыми: I. В трудах Индийской академии математических наук (т. 106, № 3, стр. 301–328). Спрингер Индия.

[3] Раманатан, А., 1996, ноябрь. Модули главных расслоений над алгебраическими кривыми: II. В трудах Индийской академии математических наук (том 106, № 4, стр. 421–449). Спрингер Индия.

[SR-4] Субраманиан С. и Раманатан А., 1988. Связности Эйнштейна-Эрмитова на главных расслоениях и устойчивости.

[biswas-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Аншуш Б. и Бисвас И., 2001. Связности Эйнштейна-Эрмитова на полистабильных главных расслоениях над компактным кэлеровым многообразием. Американский журнал математики, 123 (2), стр. 207–228.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]