Верное представительство

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория представлений , точным представлением ρ группы G $в$ векторном пространстве $V$ является линейное представление , в котором различные элементы $g$ группы $G$ представлены различными линейными отображениями $ρ (g)$ .Говоря более абстрактным языком, это означает, что групповой гомоморфизм $\rho :G\to GL(V)$ является инъективным (или взаимно однозначным ).

Предостережение [ править ]

Хотя представления $G$ над полем $K$ совпадают де-факто с $K [G]$ -модулями не (где $K [G]$ обозначает групповую алгебру группы $G$ ), точное представление $G$ обязательно является точным модулем для группы алгебра. В действительности каждый точный $K [G]$ -модуль является точным представлением $G$ , но обратное неверно. Рассмотрим, например, естественное представление симметрической группы $Sn, которое, безусловно ,$ в $n$ измерениях с помощью матриц перестановок является точным. Здесь порядок группы равен $n!$ а $n \times n$ матрицы размера образуют векторное пространство размерности $n 2$ . Как только $n$ становится хотя бы 4, подсчет размерностей означает, что между матрицами перестановок должна возникнуть некоторая линейная зависимость (поскольку $24 > 16$ ); это соотношение означает, что модуль групповой алгебры не является точным.

Свойства [ править ]

Представление $V$ конечной группы $G$ над алгебраически замкнутым полем $K$ является нулевой характеристики точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление группы $G$ встречается как подпредставление группы $S. н V$ ( $n$ -я симметричная степень представления $V$ ) для достаточно большого $n$ . Кроме того, $V$ является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление группы $G$ встречается как подпредставление группы G.

V^{\otimes n}=\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ times}}}

( $n$ -я тензорная степень представления $V$ ) для достаточно большого $n$ . ^[1]

Ссылки [ править ]

^ В. Бернсайд. Теория групп конечного порядка. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1955. 2-е изд. (Теорема IV главы XV)

«достоверное представление» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] В. Бернсайд. Теория групп конечного порядка. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1955. 2-е изд. (Теорема IV главы XV)

[1]