Матрица Хассе – Витта

В математике матрица Хассе-Витта H неособой -й степени , алгебраической кривой C над конечным полем F является матрицей отображения Фробениуса ( p отображение где F имеет q элементов, q - степень простого числа p ) относительно базиса для дифференциалов первого рода . Это матрица размера g × g , где C имеет род g . Ранг матрицы Хассе-Витта является инвариантом Хассе или Хассе-Витта .

Подход к определению

Это определение, данное во введении, является естественным в классических терминах и принадлежит Гельмуту Хассе и Эрнсту Витту (1936). Это дает решение вопроса о p -ранге якобианского многообразия J группы C ; p - ранг ограничен рангом H , в частности , это ранг отображения Фробениуса, составленного из самого себя g раз. Это также определение, которое в принципе является алгоритмическим. В последнее время к этому проявился значительный интерес с точки зрения практического применения в криптографии , в случае C - гиперэллиптической кривой . Кривая C является суперспециальной, если H = 0.

Это определение нуждается, по крайней мере, в паре оговорок. существует соглашение об отображениях Фробениуса, и в современном понимании для H требуется транспонирование Во-первых , Фробениуса ( см. Арифметический и геометрический Фробениус более подробно ). Во-вторых, отображение Фробениуса не является F -линейным; оно линейно над полем Z / p Z в F. простым Следовательно, матрицу можно записать, но она не представляет собой линейное отображение в прямом смысле слова.

Когомологии

Интерпретация пучковых когомологий такова: отображение p -степени действует на

ЧАС ¹( С , О _С ),

или, другими словами, первые когомологии C с коэффициентами в его структурном пучке . Теперь это называется оператором Картье-Манена (иногда просто оператором Картье ) по имени Пьера Картье и Юрия Манена . Связь с определением Хассе-Витта осуществляется посредством двойственности Серра , которая для кривой связывает эту группу с

ЧАС ⁰( С , Ом _С )

где Ом _C = Ом ¹_C — пучок кэлеровых дифференциалов на C .

Абелевы многообразия и их p -ранг

p абелева -ранг многообразия A над полем K характеристики p — это целое число k, для которого ядро A [ p ] умножения на p имеет p ^к точки. Оно может принимать любое значение от 0 до d , размерности A ; напротив, для любого другого простого числа l существует l ^{2 дня} точки в A [ l ]. Причина того, что p -ранг ниже, заключается в том, что умножение на на A является неразделимой изогенией : дифференциал равен p, равному 0 в K. p Рассматривая ядро как групповую схему, можно получить более полную структуру (ссылка Дэвида Мамфорда «Абелевы многообразия», стр. 146–7); но если, например, посмотреть на сокращение по модулю p уравнения деления , количество решений должно уменьшиться.

Таким образом, ранг оператора Картье-Манена или матрицы Хассе-Витта дает верхнюю оценку p -ранга. p g -ранг — это ранг оператора Фробениуса, составленного из самого себя раз . В оригинальной статье Хассе и Витта проблема сформулирована в терминах, присущих , без опоры на J. C Речь идет о классификации возможных расширений Артина–Шрайера функционального поля F ( C ) (аналога в данном случае теории Куммера ).

Случай рода 1

Случай эллиптических кривых был разработан Хассе в 1934 году. Поскольку род равен 1, единственные возможности для матрицы H : H равно нулю, инвариант Хассе 0, p -ранг 0, суперсингулярный случай; или H ненулевое, инвариант Хассе 1, p -ранг 1, обычный случай. ^{[ 1 ]} Здесь существует формула сравнения, говорящая, что H конгруэнтно по модулю p числу N точек на C над F , по крайней мере, когда q = p . Из-за теоремы Хассе об эллиптических кривых знание N по модулю p определяет N для p ≥ 5. Эта связь с локальными дзета-функциями была подробно исследована.

Для плоской кривой, заданной кубикой f ( X , Y , Z ) = 0, инвариант Хассе равен нулю тогда и только тогда, когда коэффициент ( XYZ ) ^{р -1} в ж ^{р -1} равен нулю. ^{[ 1 ]}

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Шпрингер-Верлаг . п. 332. ИСБН 0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 .

Ссылки

Хассе, Гельмут (1934). «Существование сепарабельных циклических неразветвленных полей расширения простой степени p над эллиптическими функциональными полями характеристики p ». Журнал чистой и прикладной математики . 172 :77–85. дои : 10.1515/crll.1935.172.77 . ЖФМ 60.0910.02 . Например, 0010.14803 .
Хассе, Хельмут; Витт, Эрнст (1936). «Циклические неразветвленные поля расширения простой степени p над полем алгебраических функций характеристики p ». Ежемесячные журналы по математике и физике . 43 : 477-492. дои : 10.1515/9783110835007.202 . ЖФМ 62.0112.01 . Збл 0013.34102 .
Манин, Ю. И. (1965). «Матрица Хассе – Витта алгебраической кривой». Пер., сер. 2, утра. Математика. Соц . 45 : 245–246. ISSN 0065-9290 . Збл 0148.28002 . (английский перевод русского оригинала)

[H332-1] Перейти обратно: ^а ^б Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Шпрингер-Верлаг . п. 332. ИСБН 0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 .

[ 1 ]