Дифференциал первого рода

В математике — традиционный термин , дифференциал первого рода используемый в теориях римановых поверхностей (в более общем смысле, комплексных многообразий ) и алгебраических кривых (в более общем смысле, алгебраических многообразий ), для всюду регулярных дифференциальных 1-форм . Следовательно, для комплексного многообразия M дифференциал первого рода ω — это то же самое, что и 1-форма, всюду голоморфная ; на многообразии V неособом алгебраическом это было бы глобальное сечение когерентного пучка Ω ¹ дифференциалов Кэлера . В любом случае определение берет свое начало в теории абелевых интегралов .

Размерность пространства дифференциалов первого рода посредством этого отождествления есть число Ходжа

час ^1,0 .

Дифференциалы первого рода при интегрировании по путям дают интегралы, обобщающие эллиптические интегралы на все кривые по комплексным числам . К ним относятся, например, гиперэллиптические интегралы типа

$\int {\frac {x^{k}\,dx}{\sqrt {Q(x)}}}$

где Q — бесквадратный многочлен любой заданной степени > 4. Допустимая степень k должна определяться путем анализа возможного полюса в бесконечной точке соответствующей гиперэллиптической кривой . Когда это будет сделано, обнаружится, что условие

k ≤ g − 1,

или, другими словами, k не более 1 для степени Q 5 или 6, не более 2 для степени 7 или 8 и т. д. (поскольку g = [(1+ deg Q )/2]).

В общем, как показывает этот пример, для компактной римановой поверхности или алгебраической кривой число Ходжа представляет собой род g . Для случая алгебраических поверхностей это величина, классически известная как нерегулярность q . В целом это также размер разновидности Альбанезе , которая заменяет разновидность Якобиана .

Дифференциалы второго и третьего рода.

В традиционную терминологию вошли также дифференциалы второго и третьего рода . Идея, лежащая в основе этого, была поддержана современными теориями алгебраических дифференциальных форм , как со стороны теории Ходжа , так и посредством использования морфизмов к коммутативным алгебраическим группам .

в Дзета-функция Вейерштрасса называлась интегралом второго рода теории функций эллиптических ; это логарифмическая производная тэта -функции и, следовательно, имеет простые полюса с целыми остатками. Разложение ( мероморфной ) эллиптической функции на части «трех видов» аналогично представлению в виде (i) константы плюс (ii) линейной комбинации сдвигов дзета-функции Вейерштрасса плюс (iii) функции с произвольными полюсами но никаких остатков на них.

Тот же тип разложения вообще существует, mutatis mutandis , хотя терминология не вполне последовательна. В теории алгебраических групп ( обобщенный якобиан ) тремя видами являются абелевы многообразия , алгебраические торы и аффинные пространства , а разложение осуществляется в терминах композиционного ряда .

С другой стороны, мероморфный абелев дифференциал второго рода традиционно считался дифференциалом с вычетами во всех полюсах, равными нулю. Третий вид — это тот, в котором все полюса просты. Существует аналог более высокой размерности, использующий вычет Пуанкаре .

См. также

• Логарифмическая форма

Ссылки

• «Абелев дифференциал» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]