Точка Вейерштрасса

В математике точка Вейерштрасса $P$ на неособой алгебраической кривой $C$ определенное над комплексными числами, — это точка, в которой имеется больше функций. $C$, с их полюсами, ограниченными $P$ только то, что было бы предсказано теоремой Римана-Роха .

Концепция названа в честь Карла Вейерштрасса .

Рассмотрим векторные пространства

$L(0),L(P),L(2P),L(3P),\dots$

где $L(kP)$ — пространство мероморфных функций на $C$ чей приказ в $P$ по крайней мере $-k$ и без других полюсов. Мы знаем три вещи: размерность не меньше 1, поскольку на ней есть постоянные функции. $C$; оно не убывает; и по теореме Римана-Роха размерность в конечном итоге увеличивается ровно на 1 при движении вправо. На самом деле, если $g$ это род ​ $C$, размерность от $k$-й термин, как известно,

$l(kP)=k-g+1,$ для $k\geq 2g-1.$

Таким образом, наши знания о последовательности

$1,?,?,\dots ,?,g,g+1,g+2,\dots .$

Что мы знаем о? заключается в том, что они могут увеличиваться не более чем на 1 каждый раз (это простой аргумент: $L(nP)/L((n-1)P)$ имеет размерность не более 1, потому что если $f$ и $g$ иметь одинаковый порядок полюсов в $P$, затем $f+cg$ будет иметь полюс более низкого порядка, если константа $c$ выбран для отмены ведущего члена). Есть $2g-2$ здесь знаки вопроса, поэтому случаи $g=0$ или $1$ не нуждаются в дальнейшем обсуждении и не вызывают вопросов Вейерштрасса.

Предположим поэтому $g\geq 2$. Будет $g-1$ делает шаг вперед, и $g$ шаги, где нет приращения. Не -Вейерштрассовская точка $C$ происходит всякий раз, когда все приращения расположены максимально вправо: т. е. последовательность выглядит так:

$1,1,\dots ,1,2,3,4,\dots ,g-1,g,g+1,\dots .$

Любой другой случай является точкой Вейерштрасса . Разрыв Вейерштрасса для $P$ представляет собой ценность $k$ так что нет функции на $C$ имеет именно $k$-сложить шест в $P$ только. Последовательность разрывов

$1,2,\dots ,g$

для точки, не являющейся точкой Вейерштрасса. Для точки Вейерштрасса она содержит хотя бы одно большее число. ( Теорема Вейерштрасса о разрыве или Lückensatz — это утверждение, что должно быть $g$ пробелы.)

для гиперэллиптических кривых у нас может быть функция Например, $F$ с двойным шестом на $P$ только. Его полномочия имеют полюса порядка $4,6$ и так далее. Поэтому такой $P$ имеет последовательность пробелов

$1,3,5,\dots ,2g-1.$

В общем, если последовательность пробелов

$a,b,c,\dots$

вес равен точки Вейерштрасса

$(a-1)+(b-2)+(c-3)+\dots .$

Это введено на основании теоремы о счете: на римановой поверхности сумма весов точек Вейерштрасса равна $g(g^{2}-1).$

Например, гиперэллиптическая точка Вейерштрасса, как указано выше, имеет вес $g(g-1)/2.$ Поэтому существуют (максимум) $2(g+1)$ из них. $2g+2$ все точки ветвления разветвленного накрытия степени два от гиперэллиптической кривой до проективной прямой являются гиперэллиптическими точками Вейерштрасса, и они исчерпывают все точки Вейерштрасса на гиперэллиптической кривой рода $g$.

Дополнительную информацию о пробелах можно получить, применяя теорему Клиффорда . Умножение функций придает непробелам числовую полугрупповую структуру, и старый вопрос Адольфа Гурвица просил дать характеристику возникающим полугруппам. Новое необходимое условие было найдено Р.-О. Бухвейцем в 1980 году и привел пример подполугруппы неотрицательных целых чисел с 16 пробелами, которая не встречается как полугруппа непробелов в точке кривой рода 16 (см. ). Определение точки Вейерштрасса для неособой кривой над полем положительной характеристики было дано Ф. К. Шмидтом в 1939 году.

Положительная характеристика

В более общем смысле, для неособой алгебраической кривой $C$ определенный над алгебраически замкнутым полем $k$ характеристики $p\geq 0$числа пробелов для всех точек, кроме конечного числа, представляют собой фиксированную последовательность $\epsilon _{1},...,\epsilon _{g}.$ Эти точки называются точками, не являющимися точками Вейерштрасса .Все точки $C$ последовательность разрывов которых различна, называются Вейерштрасса точками .

Если $\epsilon _{1},...,\epsilon _{g}=1,...,g$ тогда кривая называется классической кривой .В противном случае его называют неклассическим . В нулевой характеристике все кривые классические.

Эрмитовы кривые являются примером неклассических кривых. Это проективные кривые, определенные над конечным полем. $GF(q^{2})$ по уравнению $y^{q}+y=x^{q+1}$, где $q$ это высшая сила.

Ссылки

• П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. стр. 273–277. ISBN  0-471-05059-8 .
• Фаркас; Кра (1980). Римановы поверхности . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. стр. 76–86 . ISBN  0-387-90465-4 .
• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (1987). «Существование, разложение и пределы некоторых точек Вейерштрасса». Изобретать. Математика . 87 (3): 495–515. дои : 10.1007/bf01389240 . S2CID   122385166 .
• Гарсия, Арнальдо; Виана, Пауло (1986). «Точки Вейерштрасса на некоторых неклассических кривых». Архив математики . 46 (4): 315–322. дои : 10.1007/BF01200462 . S2CID   120983683 .
• Воскресенский, В.Е. (2001) [1994], «Точка Вейерштрасса» , Энциклопедия Математики , EMS Press