Полярная кривая

В алгебраической геометрии первая поляра или просто поляра алгебраической плоской кривой C степени n относительно точки Q представляет собой алгебраическую кривую степени n которая содержит каждую точку C , касательная линия которой проходит через Q. −1 , Он используется для исследования связи между кривой и ее двойственной кривой , например, при выводе формул Плюкера .

Определение

Пусть C определяется в однородных координатах как f ( x, y, z ) = 0, где f — однородный многочлен степени n , и пусть однородными координатами Q будут ( a , b , c ). Определить оператор

\Delta _{Q}=a{\partial  \over \partial x}+b{\partial  \over \partial y}+c{\partial  \over \partial z}.

Тогда ∆ _Q f — однородный многочлен степени n −1, а ∆ _Q f ( x, y, z ) = 0 определяет кривую степени n называемую первой полярой C относительно Q. -1 ,

Если P = ( p , q , r ) — неособая точка на кривой C , то уравнение касательной в точке P имеет вид

x{\partial f \over \partial x}(p,q,r)+y{\partial f \over \partial y}(p,q,r)+z{\partial f \over \partial z}(p,q,r)=0.

В частности, P находится на пересечении C и его первой поляры относительно Q тогда и только тогда, когда Q находится на касательной к C в точке P . Для двойной точки C все частные производные f равны 0, поэтому первая поляра также содержит эти точки.

Класс кривой

Класс C C C можно определить как количество касательных, которые можно провести к из точки, не принадлежащей ( с учетом кратностей и включая мнимые касательные). Каждая из этих касательных касается C в одной из точек пересечения C и первой поляры, и по теореме Безу их не более n ( n −1). Это накладывает верхнюю границу n ( n −1) на класс кривой степени n . Класс можно точно вычислить, подсчитав количество и тип особых точек на C (см. формулу Плюкера ).

Высшие поляры

p -я поляра C для натурального числа p определяется как Δ _Q^пf ( x, y, z ) знак равно 0. Это кривая степени n − p . Когда p равно n −1 p -я поляра представляет собой линию, называемую линией C , относительно Q. полярной Аналогично, когда p равно n кривая называется полярной коникой C −2 , .

Используя ряды Тейлора от нескольких переменных и используя однородность, f (λ a +μ p , λ b +μ q , λ c +μ r ) можно разложить двумя способами:

\mu ^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu ^{n-1}\Delta _{Q}f(p,q,r)+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\mu ^{n-2}\Delta _{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots

и

\lambda ^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda ^{n-1}\Delta _{P}f(a,b,c)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\lambda ^{n-2}\Delta _{P}^{2}f(a,b,c)+\dots .

Сравнивая коэффициенты при λ ^пм ^{п - п} показывает, что

{\frac {1}{p!}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(n-p)!}}\Delta _{P}^{n-p}f(a,b,c).

В частности, p -я поляра C относительно Q является геометрическим местом точек P , так что ( n − p )-я поляра C относительно P проходит через Q . ^[1]

поляки

полярная линия относительно точки Q является линией L , то Q называется полюсом L. C Если Данная строка имеет ( n −1) ² полюса (подсчет кратностей и т. д.), где — степень C. n Чтобы убедиться в этом, выберите две точки P и Q на L . Геометрическое место точек, полярные линии которых проходят через P, является первой полярой P и представляет собой кривую степени n − 1 . Аналогично, геометрическое место точек, полярные линии которых проходят через Q, является первой полярой Q и также является кривой степени n - 1 . Полярная линия точки — это L тогда и только тогда, когда она содержит как P, так и Q , поэтому полюса L являются в точности точками пересечения двух первых поляр. По теореме Безу эти кривые имеют ( n −1) ² точки пересечения и являются полюсами L . ^[2]

Гессен

Для данной точки Q =( a , b , c ) полярная коника является геометрическим местом точек P, так что Q находится на второй поляре P . Другими словами, уравнение полярной коники имеет вид

\Delta _{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}(a,b,c)+\dots =0.

Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель гессиана функции f ,

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}},

исчезает. Следовательно, уравнение | H ( f )|=0 определяет кривую, геометрическое место точек, чьи полярные коники вырождены, степени 3( - 2 ) , называемую кривой Гессе C n .

См. также

Ссылки

^ Следует за стр. 49–50 Салмона, но по сути тот же аргумент с другими обозначениями приведен в стр. 16–17 Бассета.
^ Бассет с. 20, Лосось с. 51

Бассет, Альфред Барнард (1901). Элементарный трактат о кубических кривых и кривых четвертой степени . Deighton Bell & Co., стр. 16 и далее.
Салмон, Джордж (1879). Высшие плоские кривые . Ходжес, Фостер и Фиггис. стр. 49 и далее.
Раздел 1.2 Фултона, Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии , CBMS, AMS, 1984.
Иванов А.Б. (2001) [1994], «Полярный» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Гессиан (алгебраическая кривая)» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Следует за стр. 49–50 Салмона, но по сути тот же аргумент с другими обозначениями приведен в стр. 16–17 Бассета.

[2] Бассет с. 20, Лосось с. 51

[1]

[2]